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[niveau PCSI] Questions de cours sur les polynômes



  1. #1
    Nox

    [niveau PCSI] Questions de cours sur les polynômes


    ------

    Bonjour,

    En plein dans mes révisions d'été, je rencontre quelques problèmes sur les polynômes.

    * Dans mon cours, ma très chère prof de maths a écrit : on peut montrer que pour tout naturel n non nul, appartenant à Q[X] est irréductible dans Q[X] mais non irréductible dans R[X] ni dans C[X] .
    Comment cela peut-il se démontrer ? Par récurrence, je pense que c'est assez adru; en revenant à la définition d'un polynôme irréductible la condition : ses seuls diviseurs sont ses polynômes associés et les pôlynômes constants non nuls me gène beaucoup car je n'arrive ç rien ...

    * Deuxième problème : Comment montrer que tout polynôme de degré n admet exactement n racines dans C[X] ? Il en admet au plus n, j'arrive à le démontrer car c'est vrai pour tout polynôme. Mais le exactement je ne sais pas ... Peut-être qu'il faut utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss ...
    Tout ceci reste encore assez flou pour moi, donc le moindre indice serait le bienvenu ..

    Merci de votre aide future,

    Cordialement,

    Nox

    -----
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  2. Publicité
  3. #2
    indian58

    Re : [niveau PCSI] Questions de cours sur les polynômes

    Bonjour,

    pour ta première question, ce résultat peut se voir comme la conséquence immédiate du critère d'Eisenstein : soit un polynôme de tel qu'il existe un nombre premier p tel que:_
    _
    _ .
    Alors P est irréductible. La démonstration de ce critère est un exo que tu peux essayer de faire.
    Pour ta deuxième question, sache qu'il existe des polynômes de degré n admettant un nombre de racines strictement supérieur à n (cf bibliothèque des contre-exemples). Cependant, cela fonctionne dans tout corps commutatif comme . En fait, ce résultat est équivalent au théorème de D'Alembert-Gauss. Donc, si tu veux utiliser ce dernier théorème, c'est très facile et je te le laisse. Sinon, il s'agit de démontrer le théorème de D'Alembert-Gauss. Il existe plusieurs démonstrations;
    Dernière modification par martini_bird ; 30/07/2006 à 11h56. Motif: Correction de la syntaxe tex : \not \mid au lieu de \nshortmid

  4. #3
    Cyp

    Re : [niveau PCSI] Questions de cours sur les polynômes

    Nox>pour ta première question tu peux utiliser le fait que si est racine de alors a vérifie donc a est une racine n-ième de 2. Maintenant il reste à montrer qu'une racine n-ième de 2 est irrationnelle. Là j'ai pas trop d'idées à part de dire que pour 2 on sait le faire, ça doit se généraliser à la racine n-ième à mon avis...
    ++ Cyp
    Physics is like sex. Sure it may have some practical results, but that's not why we do it R. Feynman

  5. #4
    Nox

    Re : [niveau PCSI] Questions de cours sur les polynômes

    Rebonjour !

    Merci pour vos conseils ! Je tacherai de regarder ça (peut etre pas tout de suite ar mes vraies vacs m'attendent loin de mon pc). Le critère d'Eisenstein n'est pas à mon programme et je ne le connaissais pas donc maintenant que j'ai un episte je vais regarger ça de plus près...

    Encore merci !

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    indian58

    Re : [niveau PCSI] Questions de cours sur les polynômes

    Le critère d'Eisenstein n'est pas au programme (ni même à celui des MP) mais peut faire l'objet d'un exercice à l'oral ou d'une partie d'un problème.

  8. #6
    rvz

    Re : [niveau PCSI] Questions de cours sur les polynômes

    Citation Envoyé par Cyp
    Nox>pour ta première question tu peux utiliser le fait que si est racine de alors a vérifie donc a est une racine n-ième de 2. Maintenant il reste à montrer qu'une racine n-ième de 2 est irrationnelle. Là j'ai pas trop d'idées à part de dire que pour 2 on sait le faire, ça doit se généraliser à la racine n-ième à mon avis...
    ++ Cyp
    Salut,

    Je ne comprends pas ton argument. Comment permet-il de dire que ton polynôme n'est pas de la forme Q^2 ?
    J'ai l'impression que tu supposes implicitement que ton polynôme ne peut se décomposer qu'en produit de polynômes de degré 1, ce qui est faux et sur R et sur Q.

    Pour les autres : Très joli, le coup du critère d'Eisenstein
    __
    rvz

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