[niveau PCSI] Questions de cours sur les polynômes

[invite7d436771]

Bonjour,

En plein dans mes révisions d'été, je rencontre quelques problèmes sur les polynômes.

* Dans mon cours, ma très chère prof de maths a écrit : on peut montrer que pour tout naturel n non nul, appartenant à Q[X] est irréductible dans Q[X] mais non irréductible dans R[X] ni dans C[X] .
Comment cela peut-il se démontrer ? Par récurrence, je pense que c'est assez adru; en revenant à la définition d'un polynôme irréductible la condition : ses seuls diviseurs sont ses polynômes associés et les pôlynômes constants non nuls me gène beaucoup car je n'arrive ç rien ...

* Deuxième problème : Comment montrer que tout polynôme de degré n admet exactement n racines dans C[X] ? Il en admet au plus n, j'arrive à le démontrer car c'est vrai pour tout polynôme. Mais le exactement je ne sais pas ... Peut-être qu'il faut utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss ...
Tout ceci reste encore assez flou pour moi, donc le moindre indice serait le bienvenu ..

Merci de votre aide future,

Cordialement,

Nox
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[invited5b2473a]

Bonjour,

pour ta première question, ce résultat peut se voir comme la conséquence immédiate du critère d'Eisenstein : soit un polynôme de tel qu'il existe un nombre premier p tel que:_
_
_ .
Alors P est irréductible. La démonstration de ce critère est un exo que tu peux essayer de faire.
Pour ta deuxième question, sache qu'il existe des polynômes de degré n admettant un nombre de racines strictement supérieur à n (cf bibliothèque des contre-exemples). Cependant, cela fonctionne dans tout corps commutatif comme . En fait, ce résultat est équivalent au théorème de D'Alembert-Gauss. Donc, si tu veux utiliser ce dernier théorème, c'est très facile et je te le laisse. Sinon, il s'agit de démontrer le théorème de D'Alembert-Gauss. Il existe plusieurs démonstrations;

[invite6be2c7d9]

Nox>pour ta première question tu peux utiliser le fait que si est racine de alors a vérifie donc a est une racine n-ième de 2. Maintenant il reste à montrer qu'une racine n-ième de 2 est irrationnelle. Là j'ai pas trop d'idées à part de dire que pour 2 on sait le faire, ça doit se généraliser à la racine n-ième à mon avis...
++ Cyp

[invite7d436771]

Rebonjour !

Merci pour vos conseils ! Je tacherai de regarder ça (peut etre pas tout de suite ar mes vraies vacs m'attendent loin de mon pc). Le critère d'Eisenstein n'est pas à mon programme et je ne le connaissais pas donc maintenant que j'ai un episte je vais regarger ça de plus près...

Encore merci !

Cordialement,

Nox

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Le critère d'Eisenstein n'est pas au programme (ni même à celui des MP) mais peut faire l'objet d'un exercice à l'oral ou d'une partie d'un problème.

[invite6b1e2c2e]

Nox>pour ta première question tu peux utiliser le fait que si est racine de alors a vérifie donc a est une racine n-ième de 2. Maintenant il reste à montrer qu'une racine n-ième de 2 est irrationnelle. Là j'ai pas trop d'idées à part de dire que pour 2 on sait le faire, ça doit se généraliser à la racine n-ième à mon avis...
++ Cyp

Salut,

Je ne comprends pas ton argument. Comment permet-il de dire que ton polynôme n'est pas de la forme Q^2 ?
J'ai l'impression que tu supposes implicitement que ton polynôme ne peut se décomposer qu'en produit de polynômes de degré 1, ce qui est faux et sur R et sur Q.

Pour les autres : Très joli, le coup du critère d'Eisenstein
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rvz