Bonjour,
Je souhaite déterminer les entiers naturels n tels que :
X² + X + 1 divise (x+1)^n – x^n – 1
Bon ce que j’ai fait :
J’ai chercher les racines (qui sont évidentes) de l’équation X² + X + 1
Ces racines sont J et J²
Ensuite, j’ai remplacé ces valeurs dans le système suivant :
(J +1)^n – J^n – 1 = 0
(J² +1)^n – J²^n – 1 = 0
(-J²)^n – J^n – 1 = 0
(-J)^n – J²^n – 1 = 0
(-1)^n J²^n – J^n – 1 = 0
- J²^n + (-1)^n J^n – 1 = 0
Donc il faut faire 2 cas : n paire et n impaire
Pour n paire on a le système suivant :
J²^n – J^n – 1 = 0
-J²^n + J^n – 1 = 0
Ce qui nous donne en additionnant les 2 membres -2=0 il n’y a donc pas de solutions et n ne peut donc pas être paire.
Mais comment faire pour la suite n impaire ??
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