Doute sur une démonstration

[math47]

Bonjour à tous,

Mon intuition me dit que la proposition suivante est vraie : "Toute suite qui a une limite strictement positive a tous ses termes strictement positifs à partir d’un certain rang".
J'ai donc essayé de la montrer par l'absurde mais je ne suis pas convaincu, qu'en pensez-vous ?

On prend (Un) < 0 et lim Un = l, l > 0.
On a lim Un = l > 0
et lim Un - l < 0 or normalement lim Un = l équivaut à lim Un - l = 0
Donc l'hypothèse de départ est fausse et finalement si lim Un > 0 alors ses termes sont forcément > 0 à partir d'un certain rang.
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[Médiat]

Bonjour,

Vous avez raison de douter, alors que c'est très très simple à démontrer, il suffit de partir de la définition de limite

[Deedee81]

Salut,

bienvenue sur Futura.

EDIT croisement de la mort qui tue avec Médiat

C'est juste sans être très rigoureux.

Il y a plus simple. Prend juste la définition de limite : https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite...)#Limite_finie
Il te suffit de prendre un epsilon plus petit que ta limite l, et par définition.... tu as ta réponse.

[math47]

Bonjour, merci de votre réponse,
Je dois avouer que je bloque toujours, dois-je prendre un epsilon < 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Prenez

[math47]

Bonjour, merci d'avoir pris le temps de répondre!
Je dois avouer ne pas être très rigoureux, ça viendra ^^

[math47]

Juste pour être certain, avec epsilon < 0
j'ai donc | Un-l | < 0
|Un| - | l | < 0
|Un| < | l | au lieu d'avoir Un = l et c'est ce qui prouve ?

[math47]

En prenant epsilon = l/2, en suivant ce que j'ai dit dans mon message précédent, j'obtiens Un < 3/2 l ?

[jacknicklaus]

j'obtiens Un < 3/2 l ?

oui mais vous n'obtenez pas que celà. Vous obtenez aussi : Un > [?]
je vous laisse regarder la valeur exacte de ce [?], et surtout son signe...

[math47]

J'obtiens Un > l/2 qui est positif, c'est bien ça ?

[albanxiii]

Je suis sur que vous connaissez la réponse