Fonction C infinie à support compact dans un ouvert U

[Alex1504]

Bonjour,
Je me tourne vers vous à cause d'une ambiguïté dans la définition des fonctions C infinies à support compact dans un ouvert U d'un espace E à valeurs dans un espace F (je me place en dimension finie). Je ne sais jamais si on parle de l'ensemble des fonctions C infinies définies sur E à valeurs dans F qui ont un support inclus dans un compact K lui-même inclus dans U ou si on parle de l'ensemble des fonctions C infinies définies sur U (et non E) à valeurs dans F et qui ont un support inclus dans un compact K lui-même inclus dans U. Cela pose un problème car la seconde définition semble moins restrictive que la première:
Par exemple, si on prend une fonction C infinie définie sur la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 (et donc forcément à support compact car le support est fermé et borné + dimension finie), elle est bien C infinie à support compact dans B(0,1) au sens de la deuxième définition. Mais il n'est pas évident que l'on puisse prolonger cette fonction en une fonction C infinie à support compact définie sur E tout entier (pour vérifier la première définition) à cause de potentiels problèmes de dérivabilité au niveau du raccordement (c'est peut-être possible en prolongeant la fonction de façon bien régulière, "en pente douce" tout en gardant un support certes plus gros mais qui reste compact, mais ça m'a l'air assez compliqué).
Je pense que la première définition a de meilleures propriétés que la seconde, donc je pense qu'il s'agit de la bonne, mais je n'en suis pas certain.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
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[gg0]

Bonjour.

Il y a des définitions pour des fonctions de U dans F, C-infinies, à support compact, ce qui signifie que la fonction est nulle sur U-K où K est un compact de U. Je ne connais pas d'utilisation de fonctions définies sur U contenu dans un compact, C-infinies sur U, prolongeables sur K comme dans ton exemple (*). Et à priori, quand on rencontre ce genre de définition, la notion est bien explicite.
Peux-tu donner un exemple de rédaction où la question se pose ?

Cordialement.

(*) Dans ton exemple, la fonction n'est définie que sur U, si elle n'est pas telle qu'il existe un compact inclus dans U tel qu'elle est nulle sur U-K, son support n'est pas compact. Par exemple, si e est un élément non nul de F et que f est la fonction définie par f(x)=e pour tout x de U = boule unité, son support est U qui n'est pas compact.

[Alex1504]

Merci, c'est ce point qui me manquait: il faut donc que le compact K hors duquel la fonction est nulle soit inclus dans l'ouvert U, ce qui de toute manière règle la question du prolongement: en posant f = 0 à l'extérieur de l'ouvert, on prolonge bien f en une fonction C infinie à support compact de E dans F car d(K, E\U)>0 par théorème de compacité et car le caractère C infini est local.
Ce genre de difficulté se pose quand on définit la distribution T_f associée à une fonction f de L^1_loc par T_f (phi) = intégrale_sur_U(f*phi dlambda). Avec f définie seulement sur U (on utilise la tribu de Lebesgue sur U et l'espace D(U) pour les fonctions tests), j'aurais trouvé étrange d'utiliser une fonction phi définie sur R tout entier... Et ça tombe bien puisque ce n'est pas le cas.
P.S. je voudrais m'assurer que j'ai bien compris le lien entre plusieurs intégrales et tribus:
-Si E espace topologique et A élément de la tribu de Borel sur E (plus petite tribu contenant la topologie sur E, notée B(E)) la tribu de Borel sur U (plus petite tribu contenant la topologie induite sur U, notée B(U)) est égale à l'ensemble des intersections: "X inter U" où X est un élément de la tribu de Borel sur E. Idem en remplaçant les B par des L pour signifier "tribu de Lebesgue" (tribu engendrée par la tribu de Borel et les parties incluses dans un Borélien de mesure nulle)
-Avec les mêmes notations, si mu est une mesure sur B(E), alors mu peut se restreindre à B(U) et si f de E dans R mesurable pour B(E), alors sa restriction à U est mesurable pour B(U) et il y a égalité entre l'intégrale de f*1_U (où 1_U indicatrice de U) vis-à-vis de mu et de la tribu B(E) et l'intégrale de la restriction de f à U vis à vis de B(U) et de la restriction de mu à B(U) (je sous-entends également équivalence entre intégrabilité de l'une et intégrabilité de l'autre). Encore une fois, on peut remplacer les B par des L.
Ces deux théorèmes ne sont pas dans mes cours mais je pense avoir trouvé des démos qui fonctionnent (peut-être pas dans un cas aussi général)... Je voudrais juste m'assurer que je ne raconte pas n'importe quoi. Ces égalités m'aident à faire le lien entre des intégrales qui se ressemblent.
Merci encore pour votre aide, à bientôt.