TDSE et support compact

[coussin]

Bonjour,

Je m'excuse pour l'acronyme dans le titre, TDSE signifie l'équation de Schrödinger dépendante du temps...

Je m'intéresse à la TDSE pour laquelle je considère une condition initiale (à t=0) ayant un support compact.
Mon intuition me dit que la solution pour les temps t>0 acquierera un support infini. Mais c'est mon intuition et je ne sais pas le démontrer...
Auriez-vous des idées sur la question ?

J'ai hésité à poster ça en maths car ça doit être lié à des propriétés de l'équation différentielle...

Pour élaborer un peu sur mon intuition, il me semble que c'est le cas pour l'équation de la chaleur (si je ne me trompe...). Et la TDSE est "presque" une équation de la chaleur...

Merci d'avance.
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[Resartus]

Bonjour,
Comme personne ne se lance, je vais te livrer mon "intuition" que cela se démontre en passant par la transformation de fourier spatiale...
Une fonction à support compact doit avoir une TF dont les composantes basse fréquence doivent tendre vers une constante assez vite (par exemple, que le DL en w doit être au minimum d'ordre 2)*
Quand on applique ensuite l'équation de schodinger, il apparait des termes en w*, et donc la fonction spatiale n'est plus à support compact. Et c'est instantané dès que t>0, même si cela doit sans doute aboutir à des décroissances exponentielles gaussiennes.
Mais ce n'est qu'un raisonnement "en remuant les mains". Il faudrait demander du coté mathématiciens une démonstration rigoureuse.

Sinon, pour rester du coté physique c'est une question qui me fait penser aux "cafouillages" quand les physiciens ont essayé de rendre relativiste l''équation de schrodinger :
Ce que j'ai compris est que la seule manière d'avoir une vitesse de propagation limitée est de mettre seulement un dalembertien à la place du laplacien et pas de composante du premier ordre en dphi/dt.
Mais là, catastrophe, l'intégrale de la norme de la fonction d'onde, qui est censée valoir 1, n'était plus constante au cours du temps.
C'est comme cela qu'on a dû passer à la seconde quantification (avec nombre de particules variable). Cela n'a pas suffi, mais c'est une autre histoire...

*C'est peut-être ordre 4 et 2 respectivement :à vérifier

[coussin]

Merci pour ta réponse.

Je connaissais cet argument qui vient s'ajouter au mon intuition : en effet, la TF d'une fonction à support compact est nécessairement à support infini. Ce qui signifie qu'une fonction localisée initialement dans l'espace contient toutes les vitesses ce qui expliquerait qu'elle soit capable d'acquérir un support infini en un temps infinitésimal. C'est ce que tu dis, je crois.

J'ai un autre argument à mon intuition : il existe une solution analytique à la TDSE libre avec une condition initiale en fonction de Heaviside. J'ai oublié les détails (ça s'exprime en termes de fonctions spéciales...) mais on voit dans ce cas que le support, initialement restreint à x>0, s'étend à tout x instantanément (même si la fonction devient un peu "problématique" puisqu'elle contient des oscillations infiniment rapides )