Toute partie infinie d'un compact adment un point d'accumulation

[invite43f8d775]

Bonjour à tous,

j'ai du mal à me persuader que la démonstration ci-dessous est correcte :

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Hypothèse : Soit A une partie infinie de X compact. Supposons que A ne possède pas de point d'accumulation.
Objectif : Le but de ce qui suit est de démontrer que A est fini contrairement à l'hypothèse et que A a nécessairement un point d'accumulation.

1-Alors pour tout x de X, il existe un voisinage Vx de x tel que Vx ∩ A = vide OU Vx ∩ A = {x}

2-Or X = Ux de X {x} = Ux de X Vx.

3-Puisque X est compact il existe x1, x2 ...xn de X (en nombre fini) tels que X = Ui=1..n Vxi

4-Donc A = A ∩ X = A ∩ (Ui=1..n Vxi) = Ui=1..n ( A ∩ Vxi) inclus dans { x1, x2 ...xn }, donc A est fini (contradiction avec l'hypothèse de A infini).


Or il me semble que 1 veut dire "Pour tout x il existe au moins un voisinage Vx de x tel que Vx ∩ A = vide OU Vx ∩ A = {x}" et qu'en particulier, dans 4, pour un xi donné, il pourrait exister une infinité de x de A tels que Vxi ∩ A = {x}. Dans ces conditions, A ne serait pas inclus dans { x1, x2 ...xn }.

Je dois me faire des nœuds au cerveau et j'ai besoin qu'on m'explique.
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[gg0]

Bonsoir.

C'est confus, d'ailleurs tu sembles avoir du mal à distinguer les sous-ensembles de X et les éléments de X.

Pour le 1, on déduit de "A ne possède pas de point d'accumulation" l'existence pour chaque x élément de x d'un voisinage V(x). Il est choisi, une fois pour toute, même si d'autres seraient possibles. Donc pour chaque x de A, on a un V(x) dont l'intersection avec A est soit vide, soit réduite à {x}. Ceci est d'ailleurs nécessaire pour le 3 : Si le recouvrement n'est pas clairement défini, on ne peut pas en extraire un recouvrement fini.

De ce fait, pas de problème au 4.

Cordialement.

[invite43f8d775]

"Il est choisi, une fois pour toute, même si d'autres seraient possibles."
" ceci est d'ailleurs nécessaire pour le 3: si le recouvrement n'est pas clairement défini...etc"

Uhh.. avec ces deux remarques je viens de comprendre : on choisit comme recouvrement initial de X, les Vx qui ont la propriété 1 (Vx ∩ A = vide OU Vx ∩ A = {x}). Comme X est compact il existe un sous recouvrement fini de X : Vx1, Vx2...Vxn qui ont la même propriété (Vxi ∩ A = vide ou Vxi ∩ A ={xi} ). Dans ces conditions effectivement ça marche.

Merci beaucoup pour tes éclaircissements .