Construction d’un polynôme

[Yosh2]

Bonjour
On me demande la construction d’un polynôme à coefficient entiers du 2 degré tq P(sqrt(3)+sqrt(2))=0 , j’ai donc fait a(sqrt(3)+sqrt(2))^2+b(sqrt(3) +sqrt(2))+c=0 , j’ai pensé à prendre b=0 pour me débarrasser des irrationnel ensuite j’ai 5a+sqrt(24a^2)+c=0 et la je dois chercher un carré parfait d tq d^2=24a^2 après quelques essais j’ai comme l’impression qu’un tel entier n’existe pas , est ce le cas? Si oui pouvez vous me donner une indication pour traiter cette question autrement ?
Merci
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[gg0]

Bonjour.

En divisant par le carré du pdcd de a et d, tu retrouves une égalité entre entiers d'² = 24 a'² avec a' et d' premiers entre eux. Tu en déduis que les facteurs premiers éventuels de a' divisent d' (lemme de Gauss), etc.

Cordialement.

[Yosh2]

bonjour
je n'ai pas tout a fait compris ou vous voulez en venir,car entre a' , d' , pgcd(a,d), et les facteurs premiers de a' j'ai l'impression de travailler avec beaucoup d'inconnues, j'ai plutot pense a d' divise 24 (theoreme de gauss) mais la encore je ne connais pas le pgcd(a,d) pour en deduire a, pouvez vous m'expliquez davantage?
merci

[gg0]

Mais on s'en fout, de ce pgcd ! C'est un nombre théorique puisque a et d sont théoriques. ce qui compte, c'est qu'on remplace une équation par une équation équivalente dont on va démontrer qu'elle n'a pas de solution.

" j'ai plutôt pense a d' divise 24 (théorème de gauss) " non, tu te trompais, le théorème de Gauss ne permet pas ça !! Relis-le vraiment. si a=2, a² divise 24 b² mais pas nécessairement b (ex b=3)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

A noter : tu as ajouté la condition b=0. Mais comme on pourrait aussi avoir b différent de 0, le fait que d n'existe pas montre seulement qu'il n'y a pas de possibilité avec b=0. Pas qu'il n'existe pas de polynôme.

Cordialement.

[Yosh2]

Bonjour
On a d’^2=24a’^2 c’est à dire d’*d’=24a’^2 donc d’ divise24a’^2 puisque d’ est premier avec a’ alors il est premier avec a’^2 par suite d’après le théorème de gauss d’ divise 24 , je viens de relire l’énoncé du théorème, je pense l’avoir utilisé correctement, est ce le cas?
En ce qui concerne le pgcd, j’ai pensé au début que ce polynôme pourrait ne pas exister, mais après étant donné la formulation de la question qui demandait la construction j’ai cru qu’il devait bien y’en avoir un en faisant b=0 ou b=-a je me disais qu’on pouvait se débrouiller pour ce débarrasser des irrationnels.
Maintenant que j’ai compris qu’on cherchait à montrer que ce polynôme n’existait pas , je vais revoir votre message plus haut et essayer de continuer, je reviens des que je trouve quelque ou que je bloque.
Merci

[Yosh2]

bonsoir
dans votre premier message pour c'est les facteurs premiers de a' qui divisent d' et non pas a' lui meme (lemme de gauss) , car si c'est cette derniere qui est vrai on a la contradiction a' premier avec d' et a' divise d' donc a'=1 puis a=pgdc(a,d) donc il existe k entier tq ak=d ensuite d^2=a^2k^2=24a^2, absurde car 24 n'est pas un carre parfait, ceci est il correct?
merci

[gg0]

Oui,

un facteur premier de a' divise 24, donc son carré, facteur de a' divise 24. Donc c'est 2, seul facteur premier de 24 qui soit au carré. On simplifie par 2² et on recommence. Mais comme 6 n'a pas de facteur carré, donc contradiction.
La fin de ta preuve n'est pas convaincante (n'utilise pas un théorème). Ce n'est que la redite de la conviction initiale.

Une autre preuve se base sur l'unicité de la décomposition en facteurs premiers de d², qui doit être la même que celle de 24 a². Les puissances de 2 et 3 sont paires dans a², impaires dans 24 a².

Cordialement.