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Image d'une famille



  1. #1
    Julees

    Image d'une famille


    ------

    Bonjour,

    Je me demandais si on pouvait définir une famille de vecteurs A=(a1,..., ap) de E^p par un vecteur ? Par exemple est-ce que la famille B=(1, 2, 1) d'éléments dans R est également le triplet/vecteur (1,2,1) de R^3 ?

    Si oui, peut-on dire que pour une application f:E->F la notation f(A)=(f(a1),...,f(ap)) est abusive ?

    Merci d'avance pour vos réponses

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : Image d'une famille

    Bonjour,

    C'est quoi une famille ? En général c'est plus ou moins un synonyme d'ensemble, auquel cas vous avez tort., d'ailleurs{1, 2, 1} = {1, 2}

    Si vous vous demandez s'il y a une bijection naturelle entre les n-uplets de IR et IR^n, la réponse est oui
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Julees

    Re : Image d'une famille

    Justement, le fait qu'un vecteur puisse apparaître plusieurs fois dans une famille et non pas dans un ensemble n'est pas une des choses qui différencie une famille d'un ensemble ?

  5. #4
    Médiat

    Re : Image d'une famille

    Je repose ma question : c'est quoi une famille pour vous ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Julees

    Re : Image d'une famille

    Là est toute ma question ��
    Je dirais que c'est d'abord une énumération de vecteurs. Ce pourquoi j'ai fais un rapprochement (sûrement pas rigoureux) entre une famille et un -uplet.

  8. #6
    Julees

    Re : Image d'une famille

    En résumé, pour mieux comprendre, je me demande si il est possible d'appliquer une application f (de E^p dans F par exemple) à une famille A=(a1,..., ap). Puisque A est dans E^p alors on devrait pouvoir y appliquer f non ? Et dans ce cas la famille joue ici le rôle d'un vecteur de coords a1,..., ap aussi?

    C'est ça l'origine de mon questionnement.

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  10. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Image d'une famille

    Bonjour.

    Tu as un espace vectoriel E, et une suite A=(a1,..., ap) de vecteurs de E, donc un élément de E^p. Que tu appelles une famille (nom courant dans le cas de l'étude de génération et liberté d'une famille de vecteurs). Tu as, de plus, une application f de E^p dans F. Il n'y a aucune raison de demander si on peut appliquer f à A, c'est ainsi qu'est définie f.

    Vu le flou de ta première demande, je crains que tu ais autre chose en tête, pour lequel la réponse est moins simple ! En particulier, dans ton premier message, f n'était pas de E^p dans F, mais de E dans F. et tu présentais une notation courante, qui est un abus d'écriture.

    Mais tu peux parfaitement considérer ta famille comme un vecteur de E^p (muni d'une structure d'espace vectoriel adéquate) comme un vecteur. Un vecteur de E^p.

    Finalement, peux-tu éclaircir le contexte, pour qu'on sache quel est ton vrai problème ?

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 02/03/2021 à 14h59.

  11. #8
    Julees

    Re : Image d'une famille

    En fait, dans mes cours on note f(A)=(f(a1)... f(ap)) quand f:E->F et A dans E^p, ce qui m'a un peu troublé puisque avec cette notation on applique f à la fois depuis E et depuis E^p et je me suis alors questionné sur ce qu'était réellement une famille
    Mais ce que tu viens me dire m'a bien éclaircit, et donc, cette fois-ci pour être sûr, on peut bien considérer une famille comme un vecteur (ici A vecteur de E^p) ou un vecteur comme une famille ? C'est la même chose en fin de compte ? (voilà ma vraie question )

  12. #9
    Médiat

    Re : Image d'une famille

    Attention, généralement, quand on parle d'une famille de vecteurs, ce n'est pas la même chose qu'un n-uplet (qu'un vecteur), par exemple la famille (sin, cos) dans l'ev des fonctions de IR dans IR, est la même que la famille (cos, sin), ce n'est pas non plus la même chose que la famille (sin, cos, sin) (alors que {sin, cos, sin} = { sin, cos}).

    Pour ceux que cela intéresse, on est plutôt dans ce que l'on appelle un multiensemble.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Image d'une famille

    Heu ... Médiat, quand on dit qu'une base est une famille libre et génératrice, c'est bien d'un n-uplet dont on parle (pour pouvoir parler ensuite du n-uplet des coordonnées, ou connaître la matrice d'une application linéaire). Et on apprend souvent que s'il y a deux fois le même vecteur dans la famille elle est liée : (sin, cos, sin) est une famille liée, et " la famille (sin, cos) dans l'ev des fonctions de IR dans IR, n'est pas la même que la famille (cos, sin).

    Cordialement.

  14. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Image d'une famille

    Julees,

    Je te le disais, la notation f(A) est un abus d'écriture, copié sur le f(A) où A est une partie de E. Le fait que A puisse être considéré comme un vecteur ne permet rien, puisque f n'a pas E^n comme ensemble de départ. C'est donc une notation particulière, locale.

    Cordialement.

  15. #12
    Médiat

    Re : Image d'une famille

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    c'est bien d'un n-uplet dont on parle
    Une "famille" est libre ou liée quelque soit l'ordre des vecteurs dans cette famille, ordre qui n'a de sens que pour les coordonnées et là on parle de n-uplet des coordonnées, pas de la famille des coordonnées.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Image d'une famille

    Voir Wikipédia, ou ce cours universitaire. Et ce ne sont que les deux premières réponses sur des milliers.

    Je n'ai jamais vu un cours d'algèbre linéaire qui ne parle pas de famille à ce moment-là, même si je me souviens d'un étudiant qui s'y perdait parce que son livre avait d'abord introduit des ensembles de vecteurs linéairement indépendants, ou générateurs puis parlait de familles, ce qui remettait tout en cause.

  18. #14
    Médiat

    Re : Image d'une famille

    Intéressant, les familles de cet article universitaire sont notées comme des ensembles et non comme des n-uplets !

    Pour moi ce qui compte c'est :
    n-uplet : l'ordre est important,
    famille liée ou libre, génératrice ou non : l'ordre n'a aucune importance

    Est-ce que vous parlez de la famille des coordonnées ou du n-uplet des coordonnées ?
    Dernière modification par Médiat ; 02/03/2021 à 19h36.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    Julees

    Re : Image d'une famille

    Merci à vous 2 pour vos réponses, ça m'a bien aidé à cerner la notion

    Bonne soirée

  20. #16
    Merlin95

    Re : Image d'une famille

    Une famille est toujours indexée, même si elle l'est parfois implicitement, par exemple dans les locutions « famille libre » ou « famille génératrice ».

    https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Famille_(mathématiques)

    Mais c'est indexé par un ensemble mais, dans un ensemble vu il n'y a pas d'ordre des éléments (sauf si je me trompe).
    « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. »

  21. #17
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Image d'une famille

    Désolé, Médiat,

    mais je ne vois pas de distinction entre famille finie à n éléments, et n-uplet. Et pour moi, la dénomination de (a1,a2, ...an) est aussi bien l'un que l'autre. Je n'ai pas compris le message #9 : " la famille (sin, cos) dans l'ev des fonctions de IR dans IR, est la même que la famille (cos, sin)".

    Peut-être simplement des habitudes de vocabulaire différentes d'un pays à l'autre.
    Dernière modification par gg0 ; 02/03/2021 à 20h07.

  22. #18
    Tryss2

    Re : Image d'une famille

    mais je ne vois pas de distinction entre famille finie à n éléments, et n-uplet.
    gg0, est ce que pour toi, dans R[X] la famille " 1, X, X² " est différente de la famille " X², X, 1 " ?

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  24. #19
    Merlin95

    Re : Image d'une famille

    Ben étant donné la commutivité de + de l'espace vectoriel, il n'y a pas d'interêt à dire qu'elles sont différentes.

    La confusion vient peut-être du fait que l'indexe doit être identifiable et qu'on peut décider que c'est le premier élément des couples définissant l'application.
    « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. »

  25. #20
    MissJenny

    Re : Image d'une famille

    J'avais appris qu'une famille d'éléments d'un ensemble E indexée par un ensemble I était tout simplement une application de I dans E, autrement dit un élément de E^I. Si I={1,..,n} E^I se note E^n (l'ensemble produit de n copies de E).

  26. #21
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Image d'une famille

    Pour Médiat, Tryss et les autres : Dans l'apprentissage de l'algèbre linéaire (je reste sur la question de Julees), la distinction entre famille et suite finie n'est jamais faite, puisque on va avoir besoin de l'ordre des bases très vite. Et que l'indexation est faite sur un segment de N, voire N tout entier. Donc oui, en tant que familles (où on oublie de préciser - Pourquoi ? - l'ensemble d'indice), la famille " 1, X, X² " n'est pas différente de la famille " X², X, 1 ". Mais en tant que bases de R2[X] elles sont différentes. Et au sens de la définition de MissJenny, les applications de I dans R[X] sont bien différentes : "P1 = 1, P2 = X, P3 = X² " n'est pas la même définition que "P1 = X², P2 = X, P3 = 1 "
    Comme souvent, la volonté de pureté du vocabulaire n'aide pas le questionneur à comprendre. Le problème n'était pas "famille ou suite finie", mais l'utilisation de la notation f(A) où A est une famille.

    Cordialement.

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