Bonjour,
Je me demandais si on pouvait définir une famille de vecteurs A=(a1,..., ap) de E^p par un vecteur ? Par exemple est-ce que la famille B=(1, 2, 1) d'éléments dans R est également le triplet/vecteur (1,2,1) de R^3 ?
Si oui, peut-on dire que pour une application f:E->F la notation f(A)=(f(a1),...,f(ap)) est abusive ?
Merci d'avance pour vos réponses
Bonjour,
C'est quoi une famille ? En général c'est plus ou moins un synonyme d'ensemble, auquel cas vous avez tort., d'ailleurs{1, 2, 1} = {1, 2}
Si vous vous demandez s'il y a une bijection naturelle entre les n-uplets de IR et IR^n, la réponse est oui
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Justement, le fait qu'un vecteur puisse apparaître plusieurs fois dans une famille et non pas dans un ensemble n'est pas une des choses qui différencie une famille d'un ensemble ?
Je repose ma question : c'est quoi une famille pour vous ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Là est toute ma question ��
Je dirais que c'est d'abord une énumération de vecteurs. Ce pourquoi j'ai fais un rapprochement (sûrement pas rigoureux) entre une famille et un -uplet.
En résumé, pour mieux comprendre, je me demande si il est possible d'appliquer une application f (de E^p dans F par exemple) à une famille A=(a1,..., ap). Puisque A est dans E^p alors on devrait pouvoir y appliquer f non ? Et dans ce cas la famille joue ici le rôle d'un vecteur de coords a1,..., ap aussi?
C'est ça l'origine de mon questionnement.
Bonjour.
Tu as un espace vectoriel E, et une suite A=(a1,..., ap) de vecteurs de E, donc un élément de E^p. Que tu appelles une famille (nom courant dans le cas de l'étude de génération et liberté d'une famille de vecteurs). Tu as, de plus, une application f de E^p dans F. Il n'y a aucune raison de demander si on peut appliquer f à A, c'est ainsi qu'est définie f.
Vu le flou de ta première demande, je crains que tu ais autre chose en tête, pour lequel la réponse est moins simple ! En particulier, dans ton premier message, f n'était pas de E^p dans F, mais de E dans F. et tu présentais une notation courante, qui est un abus d'écriture.
Mais tu peux parfaitement considérer ta famille comme un vecteur de E^p (muni d'une structure d'espace vectoriel adéquate) comme un vecteur. Un vecteur de E^p.
Finalement, peux-tu éclaircir le contexte, pour qu'on sache quel est ton vrai problème ?
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 02/03/2021 à 14h59.
En fait, dans mes cours on note f(A)=(f(a1)... f(ap)) quand f:E->F et A dans E^p, ce qui m'a un peu troublé puisque avec cette notation on applique f à la fois depuis E et depuis E^p et je me suis alors questionné sur ce qu'était réellement une famille
Mais ce que tu viens me dire m'a bien éclaircit, et donc, cette fois-ci pour être sûr, on peut bien considérer une famille comme un vecteur (ici A vecteur de E^p) ou un vecteur comme une famille ? C'est la même chose en fin de compte ? (voilà ma vraie question)
Attention, généralement, quand on parle d'une famille de vecteurs, ce n'est pas la même chose qu'un n-uplet (qu'un vecteur), par exemple la famille (sin, cos) dans l'ev des fonctions de IR dans IR, est la même que la famille (cos, sin), ce n'est pas non plus la même chose que la famille (sin, cos, sin) (alors que {sin, cos, sin} = { sin, cos}).
Pour ceux que cela intéresse, on est plutôt dans ce que l'on appelle un multiensemble.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Heu ... Médiat, quand on dit qu'une base est une famille libre et génératrice, c'est bien d'un n-uplet dont on parle (pour pouvoir parler ensuite du n-uplet des coordonnées, ou connaître la matrice d'une application linéaire). Et on apprend souvent que s'il y a deux fois le même vecteur dans la famille elle est liée : (sin, cos, sin) est une famille liée, et " la famille (sin, cos) dans l'ev des fonctions de IR dans IR, n'est pas la même que la famille (cos, sin).
Cordialement.
Julees,
Je te le disais, la notation f(A) est un abus d'écriture, copié sur le f(A) où A est une partie de E. Le fait que A puisse être considéré comme un vecteur ne permet rien, puisque f n'a pas E^n comme ensemble de départ. C'est donc une notation particulière, locale.
Cordialement.
Une "famille" est libre ou liée quelque soit l'ordre des vecteurs dans cette famille, ordre qui n'a de sens que pour les coordonnées et là on parle de n-uplet des coordonnées, pas de la famille des coordonnées.Envoyé par gg0
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Voir Wikipédia, ou ce cours universitaire. Et ce ne sont que les deux premières réponses sur des milliers.
Je n'ai jamais vu un cours d'algèbre linéaire qui ne parle pas de famille à ce moment-là, même si je me souviens d'un étudiant qui s'y perdait parce que son livre avait d'abord introduit des ensembles de vecteurs linéairement indépendants, ou générateurs puis parlait de familles, ce qui remettait tout en cause.
Intéressant, les familles de cet article universitaire sont notées comme des ensembles et non comme des n-uplets !
Pour moi ce qui compte c'est :
n-uplet : l'ordre est important,
famille liée ou libre, génératrice ou non : l'ordre n'a aucune importance
Est-ce que vous parlez de la famille des coordonnées ou du n-uplet des coordonnées ?
Dernière modification par Médiat ; 02/03/2021 à 19h36.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci à vous 2 pour vos réponses, ça m'a bien aidé à cerner la notion
Bonne soirée
Une famille est toujours indexée, même si elle l'est parfois implicitement, par exemple dans les locutions « famille libre » ou « famille génératrice ».
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Famille_(mathématiques)
Mais c'est indexé par un ensemble mais, dans un ensemble vu il n'y a pas d'ordre des éléments (sauf si je me trompe).
Désolé, Médiat,
mais je ne vois pas de distinction entre famille finie à n éléments, et n-uplet. Et pour moi, la dénomination de (a1,a2, ...an) est aussi bien l'un que l'autre. Je n'ai pas compris le message #9 : " la famille (sin, cos) dans l'ev des fonctions de IR dans IR, est la même que la famille (cos, sin)".
Peut-être simplement des habitudes de vocabulaire différentes d'un pays à l'autre.
Dernière modification par gg0 ; 02/03/2021 à 20h07.
gg0, est ce que pour toi, dans R[X] la famille " 1, X, X² " est différente de la famille " X², X, 1 " ?mais je ne vois pas de distinction entre famille finie à n éléments, et n-uplet.
Ben étant donné la commutivité de + de l'espace vectoriel, il n'y a pas d'interêt à dire qu'elles sont différentes.
La confusion vient peut-être du fait que l'indexe doit être identifiable et qu'on peut décider que c'est le premier élément des couples définissant l'application.
J'avais appris qu'une famille d'éléments d'un ensemble E indexée par un ensemble I était tout simplement une application de I dans E, autrement dit un élément de E^I. Si I={1,..,n} E^I se note E^n (l'ensemble produit de n copies de E).
Pour Médiat, Tryss et les autres : Dans l'apprentissage de l'algèbre linéaire (je reste sur la question de Julees), la distinction entre famille et suite finie n'est jamais faite, puisque on va avoir besoin de l'ordre des bases très vite. Et que l'indexation est faite sur un segment de N, voire N tout entier. Donc oui, en tant que familles (où on oublie de préciser - Pourquoi ? - l'ensemble d'indice), la famille " 1, X, X² " n'est pas différente de la famille " X², X, 1 ". Mais en tant que bases de R2[X] elles sont différentes. Et au sens de la définition de MissJenny, les applications de I dans R[X] sont bien différentes : "P1 = 1, P2 = X, P3 = X² " n'est pas la même définition que "P1 = X², P2 = X, P3 = 1 "
Comme souvent, la volonté de pureté du vocabulaire n'aide pas le questionneur à comprendre. Le problème n'était pas "famille ou suite finie", mais l'utilisation de la notation f(A) où A est une famille.
Cordialement.
