Convergence simple/uniforme

[aes2006]

Bonsoir,

Je suis en train d'étudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions fn sur l'intervalle [0,pi/2]. Je souhaite demander si mon réponse est vrai ou non:
1) fn(x) = ( sin(x) + cos (x) ) ^n
car ( sin (x) + cos (x))^n tends vers infini sur l'intervalle ]0,pi/2[ donc la suite ne converge pas ( sin x + cos x ) > 1 sur l'intervalle ]0,pi/2[

2) fn (x) = ( sin(x)cos(x))^n
- La série converge simplement à 0
- J'ai étudié sup | fn(x) - f(x) | avec x dans [0, pi/2] = |(sin(x)cos(x))^n| = (sin(x)cos(x))^n <= sin(x)^n et sin(x)^n tend vers 0 quand n tend vers infini donc sup | fn -f | tend vers 0 quand n tend vers infini

Il y a des erreurs ou pas?

Ensuite comment je peux étudier la convergence simple et uniforme de fn(x) = ( sin(x)/x)^n si x n'est pas égal à 0 et = 0 si x=0?

Merci d'avance!
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[gg0]

Bonjour.

1) OK. Il y a cependant convergence simple de la série numérique pour x=0 et x=pi/2.
2) Presque correct : sin(x)^n tend vers 0 quand n tend vers infini sauf en pi/2. D'où plus de majoration uniforme ! Il vaudrait mieux majorer uniformément sin(x)cos(x) sur [0,pi/2] (penser à l'arc double).

Pour ta dernière fonction, la convergence simple est facile (étude de la fonction). Ensuite, trouver le sup | fn -f | te permettra de conclure.

Cordialement.

[aes2006]

Bonjour
Merci pour votre réponse!
2) sinxcosx<1 sur [0,pi/2] donc, 0<=(sinxcosx)^n <1 sur [0,pi/2] donc peux-je conclure lim sup | fn - f| = 0?
3) De 0<( sin(x)/x)^n)<=1/n^2 et 1/n^2 converge vers 0 donc on peut trouver la convergence simple et uniforme?

Cordialement

[gg0]

"[peux]puis-je conclure lim sup | fn - f| = 0?" Non. par contre, le sup est facile à trouver, et tu pourras appliquer un théorème pour justifier cette limite. Tu devrais réviser les formules de trigonométrie !
"De 0<( sin(x)/x)^n)<=1/n^2 et 1/n^2 converge vers 0 " ?? Deux affirmations fausses !

Sérieusement, regarde ce qui se passe, étudie les fonctions en cause.

[A voir en vidéo sur Futura]