Diagonalisation

[BC2K17]

Bonjour.....j'avais une simple question comment savoir la formule de diagonalisation à utiliser entre P-1DP et PDP-1
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[Deedee81]

Salut,

Les deux formules sont totalement équivalentes.

P^1 D P = Q D Q^-1

avec Q = P^- 1

[jall2]

@deedee81
Non, car généralement on utilise la matrice de passage entre la base initiale et une base propre et qui est donc une matrice bien définie

@BC2K17
Soient 2 bases B et B', soit P la matrice de passage de B vers B'. Les colonnes de P sont les coordonnées des vecteurs de B' exprimés dans la base B.
On sait que P donne les anciennes coordonnées X d'un vecteur en fonction des nouvelles coordonnées X'. C'est le contraire que ce qu'on aimerait avoir.
X = P.X' (ça faut le retenir par coeur)

Soit u un endomorphisme diagonalisable
u de matrice M dans la base B
u de matrice D diagonale dans une base propre B'
P la matrice de passage de B vers B'

on a D = P^(-1)MP

en effet D est la matrice pour la base propre B', donc D s'applique aux "nouvelles" coordonnées X'

DX' = (P^(-1)MP)X' = (P^(-1)M)(PX') et on a vu que P s'applique bien à X'

si tu avais écrit par erreur D = PM P^(-1) on aurait DX' = (PM P^(-1))X' = (PM)(P^(-1)X' )
ce serait faux car P^(-1) s'applique à X, pas à X'

Voilà comment je retiens D = P^(-1)MP et M = PDP^(-1)