présence de n dans u(n)

[ph1]

Bonjour,
Le titre de la discussion n'est peut-être pas très explicite mais je n'ai pas trouvé mieux, désolé... Ma question porte sur la fréquence d'apparition de la "suite de caractères" de u(n) dans la "suite de caractères" de v(n), pour u(n) et v(n) des applications de N dans N ; la suite de caractère d'un nombre x étant le n-uplet dont les éléments sont les chiffres de x : 1254 donne (1,2,5,4). En formalisant un peu:
-Soit u(n) et v(n) deux applications de N dans N
-Soit E(n) le n-uplet dont les éléments sont les chiffres de n (en base 10, et pour n entier naturel)
-Soit f(n) la suite définie ainsi : *si E(u(n))⊆E(v(n)) : f(n)=1
*si E(u(n))⊈E(v(n)) : f(n)=0
-Soit m(x) la suite définie comme étant la moyenne (arithmétique) des termes de f(n) de 1 à x

Quel est le comportement asymptotique de m(x) avec u et v données?

Par exemple avec u(n)=n et v(n)=n!, ou u(n)=n et v(n)=n^n, m(x) semble osciller autour de 0.5 (testé avec python jusqu'à un rang assez élevé mais ça ne veux rien dire... ), alors qu'avec u(n)=x^(1/2) (la partie entière) et v(n)=2n, m(x) semble tendre vers 0.
Est-ce que quelqu'un saurait comment approcher le problème ?
Merci pour vos réponses.
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[Médiat]

Bonjour,

-Soit E(n) le n-uplet dont les éléments sont les chiffres de n (en base 10, et pour n entier naturel)

Je suppose qu'il s'agit de l'ensemble et non du n-uplet.

Je ne crois pas que l'on puisse donner une réponse dans le cas général, et même, la plupart des cas particuliers doivent être bien compliqué.

[Médiat]

Je rajoute : sauf si on se contente d'un résultat basé sur des proba, en fonction du nombre de chiffres de u(n) et de v(n)

[Médiat]

Je suppose qu'il s'agit de l'ensemble et non du n-uplet.

Et même plutôt multiensemble.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

ou une sous-suite.

Que voulez-vous dire par "jusqu'à un rang assez élevé" pour u(n)=n et v(n)=n!

[gg0]

Phi1,

pour voir si j'ai bien compris, 1234 apparaît dans 251340, pas dans 1523874. C'est ça ?

NB : Ton utilisation de ⊆ dans E(u(n))⊆E(v(n)) a obscurci le propos (⊆ concerne des ensembles).

Cordialement.

[Médiat]

pour voir si j'ai bien compris, 1234 apparaît dans 251340, pas dans 1523874. C'est ça ?

J'ai compris le contraire

[gg0]

Quoique ton exemple de n et n! semble dire le contraire : Dans les factorielles de 0 à 30, c'est plutôt rare.

Donc il va falloir être clair, précis.

[Médiat]

J'ai l'impression que pour n et n! la limite devrait être 1


Les nombres n! pour 100>n >50 ont plus de 50 chiffres (sans compter les 0 de fin), en supposant que les autres chiffres sont équiprobables, la probabilité que n soit une sous-suite de n! est très proche de 1 (> 0.93, pour n >60 on passe à >.97), et on est loin de l'infini.

[gg0]

Oui, mais s'agit-il d'une sous-suite ? Phi1 n'est pas revenu, difficile de savoir !!

Cordialement.

[ph1]

Merci pour vos réponse. Si je parle de n-uplet, c'est parce que les éléments sont ordonnés, mais ce n'est peut être pas le bon terme... En reprenant ma notation : E(12)≠E(21), alors que {1,2}={2,1}. Et mon utilisation de ⊆ ce n'est pas très rigoureuse c'est vrai, mais voila ce que je veux dire : 47 est compris dans 247 mais pas dans 427 (équivalent du "in" de python). Et pour u(n)=n et v(n)=n! j'ai testé jusqu'à 5000 et ça donne 0.56 mais ça oscille entre 0.45 et 0.55 (environ).

[ph1]

Donc ce n'est pas une sous suite, dans mon cas il faut que les nombres "se suivent".

[Médiat]

Même avec cette précision je persiste à penser que la limite est 1 (calcul purement de probabilité), par exemple pour 9999! (et on est loin de l'infini), 9999! est constitué de plus de 33000 chiffres (sans compter les 0 de la fin), donc de l'ordre de 33000 suites de 4 chiffres successifs, alors qu'il n'y a que 10000 possibilités

2^50 a 16 chiffres
(2^50)! en a environ10^16 : no comment !

[ph1]

Oui c'est vrai, vous avez raison. Se pose alors la question : existe-t-il des suites u et v tel que m (la moyenne) ai une limite autre que 0 ou 1 en +∞ ?

[ph1]

Bien sur il existe des réponses "triviales" du type : u(n)=e et v(n)=exp((-1)^n), mais est-ce tout? (ou si on veux rester dans N on peut prendre la partie entière...)

[Médiat]

Si on fabrique "à la main" de tels exemples ils auront toujours l'air triviaux.

Sinon, et sauf erreur de ma part, il faut trouver 2 suites tels que [log(v(n)) / u(n)]* soit à peu près constant et entre 0.1 et 0.9 (environ)

* : formule approximative

[ph1]

J'ai du mal à comprendre comment vous avez obtenu ce résultat. Pourriez vous expliquer?

[Médiat]

Le log(v(n)) donne le nombre de chiffres de v(n), si u(n) a 5 chiffres, et si log(v(n)) / 100000 = .5, on va trouver u(n) une fois sur 2 dans v(n)


Evidemment, cela ne fonctionne que pour des suites dont les chiffres sont répartis de façon équiprobables, sinon, cela n'a pas de sens

[ph1]

Oui merci.