Module (Algèbre)

[jall2]

Bonjour

Je ne comprends pas la phrase suivante:

"Pour un endomorphisme fixé d'un K-espace vectoriel E, cette notion donne à E une structure de module sur l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans le corps K. "

La notion en question est la notion de polynôme d'endomorphisme.

J'aimerais une explication. Quelle est la multiplication externe entre un polynôme et un vecteur de E ?

Pour ceux qui l'ignorent, un module est comme un espace vectoriel, mais avec une multiplication externe sur un anneau au lieu d'un corps.
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[invite23cdddab]

Si tu fixe un endomorphisme , alors tu peux définir la multiplication par , et tu as alors une structure de module sur K[X].

[jall2]

Puisque P(u) est un endomorphisme, c'est plutôt non ?

[invite23cdddab]

Oui, c'est la même chose : j'ai juste utilisé une notation "matricielle" plutôt que "fonctionnelle" pour désigner "l'image du vecteur x par l'endomorphisme P(u)"

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Une autre façon de voir la chose : il est facile de vérifier que se donner une structure de A-module sur un groupe abélien M est équivalent à se donner un morphisme d'anneau de A dans l'anneau des endomorhismes de groupe de M.
Ici, comme A=K[X], il suffit de se donner l'image de X pour définir un tel morphisme, grâce à la propriété universelle de K[X].
L'endomorphisme d'espace vectoriel (donc de groupe abélien en particulier) u est un bon candidat pour l'image de X.
On retrouve cette loi.