Développpements limités à l'ordre n+1

[ChinoisFou]

Bonjour à tous/toutes,

Je bloque sur un exo de maths depuis 1 heure à présent, si je pouvais recevoir un petit coup de pouce ce serait fantastique !

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Soit n un entier naturel, f(x) = Ln(1+x+x²/2!+...+xⁿ/n!)

Déterminer le développement limité à l'ordre n+1 de f au voisinage de 0.

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J'ai donc tenté de passer par le développement de e^x en 0, ce qui, après simplification me donne :

f(x) = Ln(e^x - xⁿ⁺¹/(n+1)! + o(xⁿ⁺¹))

Et là, misère et confusion, je me retrouve planté à cette étape... des idées?

Je vous remercie d'avance pour votre aide, passez une excellente journée !
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[jacknicklaus]

J'ai donc tenté de passer par le développement de e^x en 0, ce qui, après simplification me donne :

f(x) = Ln(e^x - xⁿ⁺¹/(n+1)! + o(xⁿ⁺¹))

Ben oui, et tu y es presque. Et si tu factorisais e^x à l'intérieur de ton log ?

[ChinoisFou]

Mince, je comprends vraiment pas... Une factorisation par ex me donnerait alors (sauf erreur) :

Ln[e^x (1 - xⁿ⁺¹/e^x(n+1)! + o(xⁿ⁺¹)/e^x]
= x + Ln[1 - xⁿ⁺¹/e^x(n+1)! + o(xⁿ⁺¹)/e^x]

Cependant, à partir de là je me vois mal effectuer un changement de variable pour faire Ln(1-X), car j'aurais une expression incompréhensible...

Désolé une fois de plus d'être long à la détente mais j'ai beau essayer plein de techniques, ça ne mène pas à grand chose

[GBZM]

Bonjour,

Vas-y, n'aie pas peur !

si tend vers 0. Et tu connais sûrement la limite de quand tend vers 0, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ChinoisFou]

Ok je pense avoir saisi le truc :

f(x) = x + Ln[ 1 - xⁿ⁺¹/e^x.(n+1)! + o(xⁿ⁺¹)/e^x)

= x + Ln[ 1 - xⁿ⁺¹/(n+1)! + o(xⁿ+1)) car e^x --> 1 car x-->0

= x + xⁿ⁺¹/(n+1)! + o(xⁿ⁺¹)

(En utilisant la propriété Ln(1-u) = -u + o(u) car u-->0

C'est bien cela?

[GBZM]

Oui, tu as avec équivalent à quand tend vers 0.

Fais tout de même attention à ton erreur de signe à la dernière ligne de ton calcul.

[ChinoisFou]

Ok, c'est tout compris ! Merci énormément de l'aide reçue, c'est génial et énormément apprécié. Une fois de plus, un grand merci et bonne soirée