Analyse fonctionnelle, problème d'indicatrice

[inviteed6e83cd]

Bonjour,
J'ai beaucoup de mal avec un exercice d'analyse fonctionnelle que voici:
Pour , un intervalle, on donne sa fonction indicatrice .

Posons et et pour n>=1 et pour : .

Il est alors demandé de montrer que le système est une famille orthonormée, avec .

Déjà ici je ne comprends pas bien le sens de la question, je dois montrer que si n=k et 0 sinon?

Mais ceci n'est pas vrai d'après mes calculs. Peut-être alors je dois montrer que si (n,k)=(n',k') mais alors qu'est ce que le produit scalaire ici? Je prends juste la multiplication? Merci d'avance si vous pouvez me donner quelques pistes pour cette question car j'avoue ne plus savoir vers où chercher...

Ensuite il est demandé que, pour on a :

et

Ici j'ai essayé de faire par récurrence sur les deux indice, mais déjà est-ce possible de faire cela? Je suppose vrai au rang (n,k) et je montre au rang (n+1,k+1), mais je ne pense pas que ce soit la bonne piste car j'arrive en un changement d'indice à la réponse donc il doit y avoir un problème quelque part..

Ensuite j'ai essayé de partir de et de l'exprimer en fonction de puis de en fonction de et ainsi de suite jusqu'au rang n+1 par rapport au rang n, mais encore une fois mes recherches sont infructueuses.

Je sais que c'est uniquement une gymnastique d'esprit que je ne parvient pas à trouver et que ces deux questions ne supposent aucun élément de mon cours.. Merci d'avance pour les éléments de réponses que vous m'apporterez et bonne journée.
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[Médiat]

Bonjour

.

Donc ne dépend pas de k, je subodore une erreur dans l'énoncé

[inviteed6e83cd]

Bonjour,
C'est ma faute j'ai mal recopié! La bonne définition est :



Je ne sais pas comment modifier cela dans le post original, mes excuses!

[gg0]

Bonjour Dio22.

Un système orthonormé suppose qu'on est dans un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Ton énoncé le précise (peut-être en précisant un cadre préalable). Ou il n'a pas de sens.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour la récurrence, il faut supposer que pour un n donné, et pour tout k convenable, la formule est valide (ou les formules sont valides) et en déduire la validité pour tout k convenable pour n+1 (si nécessaire, une récurrence finie sur k).

Ce que tu as fait ne permet de conclure que pour k égal à n, pas pour les autres valeurs de k.

[invite23cdddab]

Sinon, il est extrêmement probable que l'espace fonctionnel que l'on considère soit

Et pour cet exercice, la récurrence n'est pas une bonne idée : c'est beaucoup plus simple de travailler directement avec l'expression de

[inviteed6e83cd]

Bonjour,
Il n'est pas précisé explicitement mais nous somme dans l'espace des réel car l'intervalle considéré est réel et donc je suppose que l'on utilise le produit scalaire usuel dans R.
J'ai donc essayé de faire le produit et montrer que si (n,k)=(n',k') alors ça vaut 1 et 0 sinon, mais j'arrive à des formes dont je ne peux rien conclure, j'arrive juste à un terme dont je suis sûr qu'il faut qu'il soit nul pour que le produit soit nul mais je n'ai aucune hypothèses dessus ... Merci d'avance pour votre aide!

[Médiat]

Bonjour,
Vous pensez vraiment que les sont des réels

[Médiat]

Arrgh écrit trop vite, je voulais dire
Vous pensez vraiment que les sont des réels ?

[gg0]

Bonjour.

S'il s'agit d'un exercice, il a un énoncé qui précise où on se trouve (donc, par suite, quel est le produit scalaire). Sans cela, ce n'est pas un exercice.
S'il s'agit d'un exemple de cours, ou d'un exercice de cours, il se place dans un contexte qui permet de savoir où on se trouve.

Donc, Dio22, si tu ne vois pas toi-même quel espace de fonction est en cause, donne-nous un scan ou une photo de l'énoncé avec ce qui est autour.

[gg0]

A noter : Il y a un énoncé classique qui marche bien, mais apprendre a lire tout l'énoncé d'un exercice est un apprentissage primordial. Tu dois trouver la réponse, Dio22. Sans ça, on peut t'aider à faire un exercice qui n'est pas le bon !!

NB : Revoir le cours pour savoir ce qu'on fait ne serait pas inutile.

[inviteed6e83cd]

Bonjour,
Je vous met ne photo de l'énoncé pour que vous me disiez ce que vous en pensez.
Je usis plutôt au point sur mon cours, et cet exercice semble plutôt être basé sur le programme d'autres années ou être un exercice plus général d'analyse fonctionnelle ...



Pour ce qui est de montrer que c'est une famille orthonormée, je montre que le produit des khi vaut 1 si (n,k)=(n',k') et 0 sinon, le produit ne comporte que des puissances de deux et des indicatrices donc normalement il ne peut valoir qu'une puissance de 2, ou 0 ou 1 donc je pense que c'est la bonne piste.

[gg0]

Bon, ton énoncé est un peu pourri. On peut se placer dans divers espaces fonctionnels, par exemple l'espace des fonctions constantes par morceaux (ou celui des fonctions continues par morceaux (*)). C'est très bizarre qu'on ne le dise pas, ni même qu'on ne fasse pas montrer que les fonctions sont constantes par morceaux sur [0;1]. Mais le produit scalaire à envisager semble bien être le très traditionnel


Cordialement.

(*) attention, dans l'acception courante, les fonctions ont des limites finies à droite et à gauche des extrémités des morceaux