Ideaux a gauche

[syborgg]

Salut,

je suis pris d'un doute : dans un anneau unitaire qui n'est pas un corps (gauche), l'ensemble des idéaux à gauche propres est il nécessairement non vide (une autre façon de dire qu'il existe des modules a gauche simples sur cet anneau, ce qui est l'origine de ma question) ?
Dans le cas commutatif A c'est clair, il suffit de prendre un élément non inversible a, et (a) est un idéal (à gauche) différent de A. Mais cet argument ne semble pas fonctionner pour un anneau non commutatif, car ab=1 n'est pas suffisant pour conclure que a est inversible.

Si cette proposition est fausse, y a t il des exemples d'anneaux unitaires pour lesquels cet ensemble est vide (les anneaux de matrices ayant toujours des idéaux à gauche propres, il faudrait chercher ailleurs..) ?
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[GBZM]

Bonjour,

Par "propre", on entend d'habitude "différent de A". Mais ici, tu veux dire différent de A et de {0}, n'est-ce pas ?

[MissJenny]

Si dans un anneau il y a des éléments non inversibles, alors il y a des éléments qui n'ont pas d'inverse à droite. C'était ça ta question?

[syborgg]

Bonjour,

Par "propre", on entend d'habitude "différent de A". Mais ici, tu veux dire différent de A et de {0}, n'est-ce pas ?

Oui c'est bien cela.

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Si dans un anneau il y a des éléments non inversibles, alors il y a des éléments qui n'ont pas d'inverse à droite. C'était ça ta question?

Disons plutot que ce serait une condition suffisante car dans ce cas Aa serait un ideal a gauche propre.

[syborgg]

Errata : dans mon premier message je voulais dire ba=1 (et non ab=1), puisque je considere des ideaux a gauche...

[MissJenny]

tu cherches un élément qui n'a pas d'inverse à gauche. Tu choisis un x non inversible. Si x n'a pas d'inverse à gauche c'est gagné. Sinon il existe un y tel que yx=1. Mais comme x n'est pas inversible xy n'est pas égal à 1. Si y n'a pas d'inverse à gauche c'est encore gagné. Sinon il existe un z (différent de x) tel que zy=1 mais x = (zy)x = z(yx) = z, contradiction.

[syborgg]

tu cherches un élément qui n'a pas d'inverse à gauche. Tu choisis un x non inversible. Si x n'a pas d'inverse à gauche c'est gagné. Sinon il existe un y tel que yx=1. Mais comme x n'est pas inversible xy n'est pas égal à 1. Si y n'a pas d'inverse à gauche c'est encore gagné. Sinon il existe un z (différent de x) tel que zy=1 mais x = (zy)x = z(yx) = z, contradiction.

Merci bien vu ! Donc sous cet aspect, les anneaux unitaires non commutatifs ont un comportement similaire aux commutatifs.