Équation à 4 inconnues (somme et produit)

[manimal]

Bonjour à tous,

Je me suis penché sur un casse-tête, que je vous livre, j'ai quatre inconnues s,t,u et v,et cinq réels a,b,c,d et e.











Au départ, je me suis dit que j'allais me rapprocher d'une équation du 4ème degrés et donc j'ai calculé :



Et donc j'obtiens :



Puis :



Et :



Donc :







Et j'obtiens finalement :



Or le réel d n'apparait pas dans cette équation et je suis un peu perdu.

Si quelqu'un peut m'aiguiller...

Je pense que c'est impossible à résoudre !

Merci d'avance pour vos réponses.

Cordialement.
-----

[gg0]

Bonjour.

Les deux premières équations permettent de trouver s et u (ou de prouver qu'il n'y a pas de solutions si tu travaille dans les nombres réels.
Même chose pour t et v dans les deux suivantes.
S'il y a des solutions pour s, t, u et v, il n'y a aucune raison qu'elles vérifient la dernière équation, et donc, en général, ton système n'a pas de solution. Si d est bien choisi, il peut y avoir des solutions.
Par exemple :
s+u= 4
su = 3
t+v=1
tv=-2
sv+tu=10
On trouve s=1, u=3 (ou s=3,u=1), puis t=2, v=-1 (ou t=-1 et v=2). mais dans aucune des situations, sv+tu ne vaut 10; et tu peux remplacer 10 par ce que tu veux, ça ne marchera pas, sauf deux cas particuliers : -1 et 5.
Par contre, si tu as sv+tu = 5, alors s=1, u=3, t=2, v=-1 convient, et s=3, u=1, t=-1, v=2 aussi. Il y a deux solutions.

La résolution de
s+u= a
su = c
est un classique de la classe de première.

NB : L'idée de "se rapprocher d'une équation du 4ème degré" est une bonne façon de compliquer la résolution !!

Cordialement.