Ensemble des nombres algébriques sur Q.

**Anonyme007** · 24/04/2021, 21h09

Bonsoir à tous,

Pourquoi affirme-t-on qu'il n'est pas accessible mathématiquement de définir un élément du groupe de Galois absolu $\mathrm{Gal} ( \overline{ \mathbb{Q} } / \mathbb{Q} )$ , hormis la conjugaison, alors que $\overline{\mathbb{Q}}$ est au plus dénombrable ? Pourquoi ne peut-on pas construire à la main un automorphisme de $\overline{ \mathbb{Q} }$ , alors que, $\overline{ \mathbb{Q} }$ est dénombrable au plus ? Si c'était le cas, on aurait pas aussi pu construire un automorphisme entre deux espaces de Hilbert par exemple. Ce qui est faux. Quel est votre avis sur ce point précisément ?
Ne peut-on pas exhiber une base du $\mathbb{Q}$ - espace vectoriel $\overline{ \mathbb{Q} }$ alors que $\overline{ \mathbb{Q} }$ est dénombrable ?

Merci d'avance.

**Médiat** · 24/04/2021, 23h31

Bonjour,

J'ai l'impression que vous confondez "dénombrable" et "simple", par exemple tous les sous-ensembles de IN sont dénombrables, et pourtant il y a énormément de ces sous-ensembles que l'on ne peut pas décrire.

La dessus je n'ai jamais étudié ces points.

**Anonyme007** · 25/04/2021, 01h55

Envoyé par Médiat

J'ai l'impression que vous confondez "dénombrable" et "simple"

Bonjour,
Oui, mais, $\overline{ \mathbb{Q} }$ , qui est la clôture algébrique de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{C}$ est-elle simple ? C'est à dire, s'exprime-t-elle sous la forme, $\overline{ \mathbb{Q} } = \mathbb{Q} (a)$ avec $a \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{Q}$ à déterminer ? Il ne me semble pas que oui.
Par simple, entendez vous que, $\overline{ \mathbb{Q} }$ se met sous la forme, $\overline{ \mathbb{Q} } = \mathbb{Q} (a)$ avec, $a \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{Q}$ à déterminer ?.

**gg0** · 25/04/2021, 09h13

Question posée sur un autre forum, avec un autre pseudonyme.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 25/04/2021, 09h30

Bonjour,

Envoyé par Anonyme007

Oui, mais, $\overline{ \mathbb{Q} }$ , qui est la clôture algébrique de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{C}$ est-elle simple ? C'est à dire, s'exprime-t-elle sous la forme, $\overline{ \mathbb{Q} } = \mathbb{Q} (a)$ avec $a \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{Q}$ à déterminer ? Il ne me semble pas que oui.

La précision dans $\mathbb{C}$ est inutile ; Et effectivement $\overline{ \mathbb{Q} }$ n'est pas de la forme $\mathbb{Q} (a)$

Par simple, entendez vous que, $\overline{ \mathbb{Q} }$ se met sous la forme, $\overline{ \mathbb{Q} } = \mathbb{Q} (a)$ avec, $a \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{Q}$ à déterminer ?.

Je n'ai pas dit que c'était simple, au contraire j'a écrit que ce n'est pas parce que c'est dénombrable que c'est simple (implicitement je disais au contraire que $\overline{ \mathbb{Q} }$ est compliqué)

**syborgg** · 25/04/2021, 15h52

Envoyé par Anonyme007

Bonsoir à tous,

Pourquoi affirme-t-on qu'il n'est pas accessible mathématiquement de définir un élément du groupe de Galois absolu $\mathrm{Gal} ( \overline{ \mathbb{Q} } / \mathbb{Q} )$ , hormis la conjugaison, alors que $\overline{\mathbb{Q}}$ est au plus dénombrable ? Pourquoi ne peut-on pas construire à la main un automorphisme de $\overline{ \mathbb{Q} }$ , alors que, $\overline{ \mathbb{Q} }$ est dénombrable au plus ? Si c'était le cas, on aurait pas aussi pu construire un automorphisme entre deux espaces de Hilbert par exemple. Ce qui est faux. Quel est votre avis sur ce point précisément ?
Ne peut-on pas exhiber une base du $\mathbb{Q}$ - espace vectoriel $\overline{ \mathbb{Q} }$ alors que $\overline{ \mathbb{Q} }$ est dénombrable ?

Merci d'avance.

Tout isomophisme entre deux extension finies de Q se prolonge en un element de $\mathrm{Gal} ( \overline{ \mathbb{Q} } / \mathbb{Q} )$ , c'est une maniere de construire des elements de ce groupe. En fait, la seule maniere de comprendre $\mathrm{Gal} ( \overline{ \mathbb{Q} } / \mathbb{Q} )$ est d'observer qu'il est isomorphe a la limite projective de tous les $\mathrm{Gal} ({ \mathbb{Q}(a)} / \mathbb{Q} )$ , pour toutes les extensions finies Q(a).

**syborgg** · 25/04/2021, 15h59

Pardon, je voulais dire : pour toutes les extensions finies et normales Q(a).

**Anonyme007** · 26/04/2021, 00h57

Merci Médiat.
Merci syborgg.

Ensemble des nombres algébriques sur Q.

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