Nombres Transcendants et Algébriques

[Guimzo]

Bonjour,




Une personne saurait-elle apporter une réponse argumentée à cette petite question :

Le rapport de 2 nombres transcendants est-il forcément un nombre algébrique.....??


Exemple Pi est un nombre transcendant


Pi / Pi = 1


Mais peut-on généraliser et dire que le rapport de 2 nombres transcendants est toujours un nombre algébrique....??


Exemple Pi / e
-----

[inviteea028771]

Je dirai que non. Un argument de dénombrabilité :

Soit a un nombre transcendant et T l'ensemble des nombres transcendants de [0,1], alors l'ensemble aT = { x/a tel que x appartienne à T } n'est pas dénombrable (car T n'est pas dénombrable).

Or l'ensemble des nombres algébrique est dénombrable, donc de cardinal strictement inférieur à aT : il existe donc des éléments de aT qui ne sont pas algébriques

[gg0]

Réponse sur un autre forum
Pi²/pi.

Cordialement

[Guimzo]

Bonjour,



Je vous remercie tous pour vos réponses.
Effectivement je pensais que tous ces rapports de 2 nombres transcendants conduisaient obligatoirement à un nombre algébrique....mais l'exemple de ( e^2 / e ) ou bien ( Pi^2 / Pi ) montre que non.


Et dans le cas où chacun des 2 nombres est à la puissance 1.....??
( et en ne considèrant pas les nombres de type log(a) )

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Je reprends mon argument énoncé plus haut :

Si tu choisi un nombre transcendant a, alors il n'existe qu'un nombre dénombrable de nombres transcendants b tels que a/b soit algébrique, tandis qu'il y a un nombre non-dénombrable de nombres transcendants pour lesquels a/b est transcendant (donc beaucoup plus)

L'exception, c'est plutôt que a/b soit algébrique

[Guimzo]

Bonjour,



Merci pour vos réponses encore une fois.
Tryss donc finalement Si a est 1 nombre transcendant donné alors il existe au moins 1 nombre transcendant b tel que le rapport ( a / b ) soit un nombre algébrique.......??


Cela veut-il donc dire que pour Pi par exemple il existe au moins 1 nombre transcendant dont le rapport Pi par ce nombre est un nombre algébrique...??

Peux-tu donner un exemple s'il te plait d'un nombre transcendant qui en divisant Pi donne un nombre algébrique....??

[inviteea028771]

N'importe quel nombre de la forme a*pi, avec a algébrique convient, et ce sont même les seuls nombres qui conviennent

Si pi/x = b avec b algébrique, alors nécessairement x = pi*(1/b) et est donc de la forme pi*a (ici a=1/b)

[Guimzo]

Bonjour,



Merci Tryss pour vos réponses.

Alors vous dîtes :

" N'importe quel nombre de la forme a*pi, avec a algébrique convient, et ce sont même les seuls nombres qui conviennent
Si pi/x = b avec b algébrique, alors nécessairement x = pi*(1/b) et est donc de la forme pi*a (ici a=1/b) "


Dans le cas des multiples de Pi c'est ok .....
Mais existe t-il au moins 1 nombre transcendant qui ne soit pas un simple multiple de Pi lui-même et qui diviserait Pi en donnant un nombre algébrique.....?

Par exemple les nombres transcendants : e ou 2^sqrt(2) ou nombre de Champernowne ( 0.12345678910.....n....n+1 ) etc .....?

[inviteea028771]

Oui, mais il faut qu'il puisse s'écrire comme le produit d'un nombre algébrique et de pi. Le problème c'est que c'est difficile à savoir.

Par exemple, on ne sait pas si e*pi est algébrique ou transcendant

[Guimzo]

Bonsoir Tryss,




Merci pour vos réponses.
Je pensais surtout à un nombre qui ne soit absolument pas un multiple de Pi un nombre transcendant en lui-même quoi qui n'est pas transcendant parce qu'il est un multiple de Pi mais de par lui-même comme le nombre de Champernowne ( 0.12345678910.....n....n+1 ) qui à la base n'a rien à voir avec Pi.......?

[inviteea028771]

Par exemple, je viens de voir sur wiki que , et sont algébriquement indépendants sur (c'est une propriété plus forte que celle que tu recherche, cf plus bas)

Après je ne sais pas si tu trouves que est suffisamment éloigné de à tes yeux


J'explique pourquoi c'est plus fort :

Dire que a et b sont algébriquement indépendant sur , veut dire qu'il n'existe aucun polynôme à coefficients dans pour lesquels P(a,b) = 0

Et si , algébrique, et qu'on note les coefficients rationnels d'un polynôme qui annule , alors le polynôme P suivant s'annule :



En effet :

 Cliquez pour afficher

On multiplie tout par y^n :



D’où le résultat :

Et ça n'est pas équivalent, puisque et ne sont pas algébriquement indépendants, le polynôme P(X,Y) = X^2 - Y s'annulant pour ces valeurs, alors que est transcendant.

[Guimzo]

Bonsoir Tryss,



Merci pour ta réponse.
Il serait sans doute imprudent de faire fi des démonstrations mathématiques,
mais peut-être qu'il existe un nombre transcendant qu'on ne connaît pas encore et qui diviserait Pi en donnant un nombre algébrique très simple.....


1 + sqrt(2) + Pi + e + (1+sqrt(5) )/2 +..............= 10


Par exemple....

[inviteea028771]

Oui, et il pourra nécessairement s'écrire sous la forme pi/"ce nombre algébrique très simple"

Mais ça ne veut pas dire qu'il soit simple de savoir si un nombre donné peut ou non s'écrire sous cette forme.

Par exemple on ne sait pas si e peut ou non s'écrire comme cela ou non (pourtant c'est un nombre que l'on connait bien)

[taladris]

Bonjour,



Merci Tryss pour vos réponses.

Alors vous dîtes :

" N'importe quel nombre de la forme a*pi, avec a algébrique convient, et ce sont même les seuls nombres qui conviennent
Si pi/x = b avec b algébrique, alors nécessairement x = pi*(1/b) et est donc de la forme pi*a (ici a=1/b) "


Dans le cas des multiples de Pi c'est ok .....
Mais existe t-il au moins 1 nombre transcendant qui ne soit pas un simple multiple de Pi lui-même et qui diviserait Pi en donnant un nombre algébrique.....?

Par exemple les nombres transcendants : e ou 2^sqrt(2) ou nombre de Champernowne ( 0.12345678910.....n....n+1 ) etc .....?

Au risque de me tromper, je crois que tu ne comprend pas bien la réponse de Tryss: dire que a*pi est un multiple de pi dans R (nombres réels), cela signifie en général que a est un entier relatif. Si on autorise a à être réel, la notion n'a pas d'intérêt puisqu'alors tout nombre réel est multiple de pi!

Cordialement

[Guimzo]

Bonjour,


Merci Taladris pour ta réponse.
Oui je n'avais pas très bien saisi la réponse de Tryss.... et peut-être qu'à ton tour que tu n'as pas très bien saisi ma question...
Le but visé était de savoir si oui ou non il existe des nombres transcendants qui n'ont rien à voir avec Pi à la base comme par exemple le nombre de Champernowne ( 0.12345678910.....n....n+1 ) etc.... et que le rapport entre les deux seraient un nombre algébrique...
Mais non pas de prendre un nombre réel a le multiplier par Pi et dire que a*Pi est transcendant et donc .... a*Pi / Pi est algébrique.

[Deedee81]

Salut,

[...] et que le rapport entre les deux seraient un nombre algébrique...
Mais non pas de prendre un nombre réel a le multiplier par Pi et dire que a*Pi est transcendant et donc .... a*Pi / Pi est algébrique.

Ca revient au même. suppose que tu aies un nombre transcendant Glup. On découvre que Glup/Pi = a est un nombre algébrique. Donc : Glup = a*Pi. Glup est juste un multiple de Pi (où le multiplicateur est algébrique).

En existe-t-il ? Oui : une infinité (il y a une infinité de nombre algébriques). Dans les constantes habituelles (par exemple l'énorme quantité de constantes Stockée sur le site de Ploufe) qui ne sont pas juste un multiple bateau de pi (par exemple 2*pi), en existe-t-il ? Probablement (je ne serais pas surpris qu'on trouve une expression tordue algébrique multiplié par pi dans tout ce paquet de constantes). En existe-t-il dans les plus connues (nombre népérien, nombres de Champernowne, etc... celles auquelles on a donné un nom), probablement pas, mais c'est à vérifier. Le plus difficile étant de montrer que le multiplicateur est bien algébrique.