Faisceau d'anneaux de fonctions

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

J'ai besoin de démontrer le lemme suivant :
Soit un espace topologique et une base d'ouverts de . Supposons qu'on dispose pour tout , d'un anneau de fonctions vers un ensemble tel que :
Pour tout couple d'ouverts de et la restriction .
Si est un ouvert de et un recouvrement de par des ouverts de , et si pour tout , on a une fonction telle que pour tous , alors, il existe un unique élément tel que pour tout .
Montrer, qu'il existe un unique faisceau d'anneaux de fonctions sur tel que pour tout , .
On me donne comme indication :
Considérer
avec : un ouvert de , et qui recouvre .

Merci pour votre aide.
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[invite76543456789]

Bonsoir,
C'est parfaitement évident, y a juste a l'écrire.

[invitecbade190]

Bonsoir MissPacMen :
Je pense qu'il faut d'abord commencer par vérifier les hypothèses :
Soient avec un recouvrement ouvert de l'ouvert des éléments de .
Donc : .
Si , , alors et .
Par conséquent : car : .
Pourquoi : ?
Merci d'avance.

[invite76543456789]

Tu es en train de demander pourquoi une section de F au dessus de V, restreinte à U_i, donne une section de F au dessus de U_i... ca ne te parait pas evident (c'est dans la definition d'un prefaisceau, la restruction est un morphisme de F(gros ouvert) dans F( petit ouvert inclus dans le gros), et c'est de plus transitif, si U est inclus dans V lui meme inclus dans W, restreindre une section de W à V puis à U c'est la meme chose que restreindre directement à U).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Merci beaucoup.
Demain, on termine l'exercice si tu veux. Moi, je suis très épuisé après une longue journée de travail, maintenant je vais au lit pour me coucher.
A demain, et bonne nuit.

[invitecbade190]

Bonjour une nouvelle fois :
On termine le travail :

Par conséquent : .
Soit un ouvert de tel que : avec des ouverts de , et, telle que : ...
Je ne sais pas répondre à cette question :
Quelle est : pour tout ... Il faut ensuite montrer qu'elle unique.
Pourriez vous m'aider un peu sur cette question ?
Merci d'avance.

[invite76543456789]

Je crois que tu devrais calmement reprendre les notions de prefaisceau et de faisceau, la tout ce que tu demande est parfaitement evident, donc y a qqch que t'as pas compris.
Tu as pris comme définition de Fbar(U) l'ensemble des sections sur U_i qui coincide sur les intersections.
Donc si tu te donne un ensemble de sections sur les U_i qui coincident sur les intersections U_i inter U_j, alors tautologiquement ca te donne une section de Fbar au dessus de U.
Dans ton premier message tu as surement du oublié de preciser que les V et U etait element de la base d'ouvert (sinon ce que tu ecris n'a pas de sens).
Pour prouver que ton f est unique tu peux supposer qu'il existe un g qui verifie aussi cela, alors si f était different de g, il existerait un petit ouvert de U, contenu dans la base d'ouvert, tel que f restreint a cet ouvert soit different de g (le prefaisceau des fonctions est un faisceau), ce qui ne peut etre le cas puisque f et g coincide sur tous les U_i, donc sur tous les ouverts inclus dans les U_i, et donc sur la reunion de tels ouverts par le 2 de ton message 1.

[invitecbade190]

J'ai du mal à comprendre cette phrase @MissPacMen :
"Donc si tu te donne un ensemble de sections sur les U_i qui coincident sur les intersections U_i inter U_j, alors tautologiquement ca te donne une section de Fbar au dessus de U".
Si on se donne : , tel que , alors comment faire pour dire qu'il existe tel que : .... etc.
ça, c'est complètement obscur pour moi. Comment passer de à . Il suffit de considérer ... quoi ? Ayyy, je suis perdu ...
Merci d'avance.
Je comprends bien le sens de pré faisceau, et faisceau. c'est comme un foncteur, un système inductif ... etc. avec une propriété en plus ( de recollement ).

[invite76543456789]

Ca vient de te definition de Fbar(U), ici tu regarde un sous faisceau du faisceau des fonctions, tu prend l'ensemble des fonctions de U dans k, qui en restriction au U_i te donne les f_i, si tu as f_i des fonctions de U_i dans k.
Alors pour tout x dans U, x est dans l'un des U_i, tu pose f(x)=f_i(x), cette definition ne depend pas du choix de U_i, puisque les f_i coincident sur les intersections.

En fait t'a meme pas besoin de ca dans le cadre general des faisceaux d'anneaux (qui ne sont pas necessairement des ss faisceaux des faisceaux de fonctions), il tu suffit de prendre le noyau de la (double) fleche .

Pour le reste, oui un prefaisceau c'est un foncteur, mais ca n'a rien a voir avec la notion de systeme inductif, et au vu de tes questions je pense que tu devrais reprendre tout ca.

[invite7512668d]

MissPacMan, tu perds ton temps chentouf alias Pablo n'a pas le niveau d'un élève moyen de L2. Il a déjà posté cette question sur d'autres forums. Forums où il a déjà abusé de la patience des gens qui lui répondait et en a même insulté certains.