extensions d'anneaux et de corps

[invite07dd2471]

Bonjour,

j'ai du mal à saisir la différence entre une extension entière et une extension algébrique.
entière c'est pareil que algébrique sauf que entière c'est pour des extensions d'anneaux et algébrique de corps ? ou pas du tout ?
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[invite4ef352d8]

Salut !

dans entière on impose que les polynome anulateur soit unitaire.

pour un corps ca ne change rien, mais pour un anneau quelconque ca change tout :

Q est une extension algébrique de Z : en effet tous rationelle p/q est annulé par le polynome qX-p.
mais ce n'est pas une extension entière (par exemple car Z[1/2] n'est pas un Z-module de type fini)

[invite07dd2471]

Merci !
alors Z[1/2] est un Z-module, ça je vois.. qui n'est pas de type fini aussi.. par contre dire que l'extension n'est pas entière je vois un peu le lien (enfin il me semble) mais j'ai du mal à saisir..
merci encore

[invite57a1e779]

Bonjour,

Si est une extension entière, avec racine du polynôme unitaire , alors le -module est engendré par et est de type fini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07dd2471]

ok merci !