orthonormaliser une base

[Marmus1021]

Bonjour !
J'ai l'exercice suivant : Dans R⁴, muni du produit scalaire canonique, déterminer une base orthonormée du sous-espace vectoriel engendré par (1, −1, 1, −1), (5, 1, 1, 1), (−3, −3, 1, −3).
J'ai utilisé le procédé de Gram-Schmidt, pour construire trois vecteurs orthogonaux, puis je les ai normalisé.
Mais je trouve la base suivante : ( (1/2, -1/2, 1/2, -1/2), (racine(2/3), racine(1/6), 0, racine(1/6)), (0, 0, 0, 0) )
Cela me paraît bizarre de trouver un vecteur nul dans la base : même si il est bien orthogonal aux autres, il n'a pas pour norme 1, donc mon résultat est sûrement faux.
Pourriez-vous m'indiquer comment trouver la base orthonormée svp ?
Merci
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[gg0]

Bonjour.

Effectivement, ce résultat est faux. Mais comme tu ne donnes pas le détail des calculs, on ne peut pas savoir où tu t'es trompé. Le premier vecteur est bon, le deuxième aussi, c'est donc dans la construction du troisième que tu t'es trompé. Explique ce que tu as fait.

Cordialement.

[Marmus1021]

Alors j'ai posé u₃ = (-3, -3, 1, -3) - proj_{Vect((1,-1,1,-1), (4,2,0,2))}, d'après le cours.

Et donc j'avais trouvé u₃ = (-3, -3, 1, -3) - ((-3,-3,1,-3).(1,-1,1,-1)/(1,-1,1,-1)(1,-1,1,-1))*(1,-1,1,-1) + ((-3,-3,1,-3).(4,2,0,2)/(4,2,0,2)(4,2,0,2))*(4,2,0,2)
Ce qui me donne u₃ = (-3,-3,1,-3) - (1,-1,1,-1) + (4,2,0,2) = (0,0,0,0)

[gg0]

Oui, donc tu trouves que ton troisième vecteur est la somme de ses projections sur les deux premiers. Ce qui veut dire ...

A priori, la procédure d'orthonormalisation part d'une famille libre. Sinon, ça n'a pas de sens. Et donc pour avoir une base orthonormale, il faut partir d'une base.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Marmus1021]

J'ai oublié, c'est bien la projection de (-3,-3,1,-3) sur Vect((1,-1,1,-1), (4,2,0,2)) que je voulais mettre à la première ligne;
Si le troisième vecteur est la somme de ses projections sur les deux premiers, cela signifie qu'il est linéairement dépendant de ces deux vecteurs ? Et donc il faut que je le retire au début avant de faire la procédure d'orthonormalisation ?

[gg0]

Oui, on ne peut orthonormaliser correctement qu'une famille libre. Sinon, quand on tombe sur un vecteur qui est combinaison linéaire des précédents, on obtient un vecteur nul qui est signe qu'il fallait supprimer ce vecteur de la famille. ici, ton sev est de dimension 2, les deux premiers vecteurs l'engendraient, tu obtiens une base orthonormale à deux vecteurs.

Cordialement.

[Marmus1021]

D'accord merci beaucoup pour votre aide ! Donc quand j'essaye d'orthonormaliser, il faut faire ce que j'ai fait, et si jamais je tombe sur un vecteur nul, je retire le vecteur d'origine qui pose problème. Ou y a-t-il un moyen de trouver dès le début qu'il faut retirer ce vecteur en particulier ?
Cordialement

[gg0]

Tout dépend des circonstances. Si tu as déjà une base, tu n'auras pas ce problème. Si tu as une grosse partie génératrice pour un espace de petite dimension, tu vas en chercher une base ou au moins une partie génératrice réduite.
Non, ce qu'il faut retenir surtout, c'est l'idée "j'ai trouvé un résultat inattendu, que signifie-t-il ?". Tu aurais pu voir toi-même ce que je t'ai indiqué.

Cordialement.