1²+2²+3²+4²+5²+...=0

[stefjm]

Très capillotracté...
Moi j'aurais dit "c'est des relations avec "=" dedans.

C'est bien.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_series
-----

[0577]

Bonjour,

J'ai une vague réminiscence que la convergence de ces sommes étaient correctes avec une norme p-adique ??? Ou quelque chose comme ça.

pour tout p premier, la série

ne converge pas pour la norme p-adique car le terme général k^2 ne tend pas vers 0 pour la norme p-adique (il existe des entiers k arbitrairement grands tels que k^2 ne soit pas divisible par p et donc tels que k^2 soit de norme p-adique égale à 1).

[Amanuensis]

Oui, j'ai réalisé cela entretemps. Reste la série "convergeant" vers -1/12 ?

[0577]

Oui, j'ai réalisé cela entretemps. Reste la série "convergeant" vers -1/12 ?

Par le même argument, la série

ne converge pas non-plus p-adiquement (ou bien je n'ai peut-être pas compris la question).

(une remarque: même si m est un entier >1, de telle sorte que converge pour la norme ordinaire, ces séries ne convergent pas non-plus pour la norme p-adique. C'est une des raisons pour lesquelles le sujet des "fonctions zeta p-adiques" est bien plus mystérieux que celui des "fonctions zeta complexes").

[Amanuensis]

OK, merci.

[MissJenny]

par contre dans un corps fini on a bien que la somme des carrés de tous les éléments est nulle. Je crois que ce fait est démontré dans le cours d'arithmétique de Serre.

[Médiat]

par contre dans un corps fini on a bien que la somme des carrés de tous les éléments est nulle. Je crois que ce fait est démontré dans le cours d'arithmétique de Serre.

Il me semble 1^2 n'est pas nul dans le corps à 2 éléments, 1^2 + 2^2 n'est pas nul dans celui à 3 éléments

[MissJenny]

ah oui, j'aurais mieux fait de me taire... j'ai dû confondre avec un autre resultat de Serre dans ce goût-là...

[MissJenny]

annulé -------

[Amanuensis]

Comme la somme des carrés des n premiers nombres est n(n-1)(2n+1)/6, ce n'est pas bien dur de trouver la somme des carrés des éléments modulo n+1. Si n+1 premier (il est question de corps) et supérieur ou égal à 5, c'est -1 fois -2 fois -1 divisé par 6, soit -1/3.

Trois fois la somme, plus 1, est nul. Et on vérifie que ça marche aussi pour 2 mais évidemment pas pour 3.

[Amanuensis]

Euh... Je me suis planté entre n et n+1, il me semble. Pas pu corriger à temps cause interruption fortuite (sale manie d'envoyer d'abord et vérifier ensuite). Mais l'idée est là.

[Médiat]

par contre dans un corps fini on a bien que la somme des carrés de tous les éléments est nulle. Je crois que ce fait est démontré dans le cours d'arithmétique de Serre.

Bonjour,

C'est la somme des éléments qui est nulle et cela se démontre en une ligne en calculant de 2 façons différentes le somme des carrés, c'est peut-être de là que vient la confusion

[Amanuensis]

Pour les carrés c'est nul aussi, sauf pour p=2 et p=3.

Cela se démontre comme j'ai indiqué, une fois pris le bon modulo! (Et/ou la bonne interprétation de "les n premiers nombres".)

Seul défaut de mémoire de MissJenny, avoir oublié les deux exceptions.

[Médiat]

En fait c'est la formule qui est fausse S2 = n(n+1)(2n+1)/6 qui est clairement nul modulo n+1 (pour n premier et n>5)

[Amanuensis]

L'erreur c'est un signe.

Reprenons au calme. La somme des n premiers carrés c'est n(n+1)(2n+1)/6 ... Et on le prend modulo p=n+1. Donc nul si p premier >3.


Pour n=4 cela donne 30, ce qui est nul modulo 5 ; pour n=6, 91, ce qui est nul modulo 7, etc.

Pour les non premiers, la somme est nulle si ni 2 ni 3 n'est diviseur.

EDIT: Oui, j'avais détecté l'erreur, puis le temps de vérifier cinq fois... (Et pas plutôt "(pour n+1 premier et n>2)" ?)

[Amanuensis]

C'est quand même bizarre de dire "la somme des n premiers entiers" (comme dans https://www.thedudeminds.net/la-somm...emiers-carres/) sans compter le 0.

Ne devrait-on pas dire que la "la somme des n premiers entiers" c'est 0²+1²+...(n-1)², et donc (n-1)n(2n-1)/6 ?

[Amanuensis]

Dernier message mal écrit, lire à la place :

C'est quand même bizarre de dire "la somme des n premiers carrés" (comme dans https://www.thedudeminds.neCt/la-somm...emiers-carres/) sans compter le 0².

Ne devrait-on pas dire que la "la somme des n premiers carrés" c'est 0²+1²+...(n-1)², et donc (n-1)n(2n-1)/6 ? (Équivalent à "la somme des carrés des n premiers entiers")

[MissJenny]

C'est la somme des éléments qui est nulle et cela se démontre en une ligne en calculant de 2 façons différentes le somme des carrés, c'est peut-être de là que vient la confusion

je crois que j'ai retrouvé le bon résultat : dans un corps fini la somme des carrés des éléments est nulle, sauf les cas des corps F2 et F3 (les contre-exemples de Médiat).

[Médiat]

je crois que j'ai retrouvé le bon résultat : dans un corps fini la somme des carrés des éléments est nulle, sauf les cas des corps F2 et F3 (les contre-exemples de Médiat).

Oui Amanuensis a donné une démonstration, et moi je me suis fait avoir, car généralement, avec 2 contrexemples, je ne cherche pas plus loin

[MissJenny]

ah oui exact. Il donne une démonstration pour les anneaux Zn alors que je parlais des corps Fq. Par exemple c'est vrai dans F4 mais pas dans Z4. Mais on ne va pas chipoter...

[ThM55]

Il faut tout de même se rendre compte qu'en manipulant des séries divergentes terme à terme comme le fait l'auteur de la vidéo, on peut obtenir pour chaque série n'importe quelle valeur. C'est évidemment complètement faux. Mais je vois qu'il parle de l'effet Casimir et affirme que la prédiction de cet effet implique le calcul de 1+2+3+... = -1/12. C'est tout aussi faux. Je vais essayer d'expliquer en termes simples ce que cela signifie en réalité. J'espère couper la tête à ce canard avec cette explication.

Dans l'effet Casimir, on a un champ emprisonné entre deux plaques qui imposent des conditions aux limites. La dynamique de ce champ peut être comprise comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques avec un cutoff bas déterminé par l'écartement entre les plaques (les longueurs d'ondes supérieures à cet écartement sont supprimées). Mais il n'y a pas de limite supérieure. On a un calcul très similaire en théorie des cordes, où les vibrations de la corde sont représentées par des oscillateurs. Or, tout cela est quantique. Par le principe d'incertitude un oscillateur a une "énergie du point zéro", proportionnelle à la constante de Planck multipliée par la fréquence de l'oscillateur. On DOIT sommer toutes ces énergies et on obtient formellement une somme divergente comme 1+2+3+.... Mais aucun physicien, ni Casimir ni un autre, n'a jamais dit que cela faisait -1/12. Ce que ces physiciens font, c'est réécrire la somme en introduisant un cutoff qui dépend d'un paramètre x réel positif comme suit: . Cette somme converge. En développant en série de puissances de x, elle prend une forme qui contient un premier terme en 1/x^2: (un exercice à faire). On ne peut pas faire tendre x vers zéro ici, car le premier terme diverge. Toutefois, physiquement, ces oscillateurs ont des fréquences sans limite. Cela ne peut correspondre à la réalité physique, cela correspondrait à une densité de masse infinie ce qui serait complètement incohérent et dénué du moindre sens physique. On suppose donc que "quelque chose" doit couper la fréquence aussi vers le haut, sans qu'on sache exactement de quoi il s'agit (appelez ce quelque chose la "longueur de Planck" si vous voulez, mais cela pourrait être autre chose et cela importe peu). Dans le cas de l'effet Casimir, on fait la différence entre l'énergie totale du champ à l'intérieur des plaques et celle qu'on aurait sans les plaques. Le "quelque chose" qui coupe les plus hautes fréquences agit de la même manière dans les deux situations, les plaques ne faisant une coupure que pour les basses fréquences. Pour ce problème donc, on peut, en fait on DOIT soustraire le terme en 1/x^2 de cette énergie, car elle agit de la même manière dans les deux situations et quand ensuite on fait tendre x vers 0, on a un résultat fini qui est -1/12, les termes en O(x^2) dans le développement s'annulent. J'ai mentionné la théorie des cordes; dans ce cas la soustraction est imposée par l'exigence d'invariance de Lorentz et par reparamétrisation après quantification, et c'est cela qui détermine que c'est possible seulement dans un espace-temps de dimension 26 pour la corde bosonique (via 26 = 12*2 + 2).

Vous voyez bien que le physiciens ne disent jamais que cette somme vaut -1/12. Il se fait que cette valeur -1/12 apparaît quand on fait un calcul de renormalisation comme je l'ai indiqué. En peut y arriver par une autre voie: la fonction zeta de Riemann a un prolongement analytique qui prend la valeur -1/12 pour z=-1 et effectivement la régularisation par la fonction zeta est une technique utilisée aussi en physique.

[amineyasmine]

C’est de l’idiotie pure et simple

(+ …) (un plus suivi de 3 ponts de suspension) n’est pas une écriture mathématique
Et moins encore faire la somme. La somme de 2 idioties conduira à une idiotie plus idiote

Idiot + idiot+ …. = idiots

Arrêter de voir ce genre d’idiotie

[stefjm]

Dans le même genre que la première relation :



https://www.wolframalpha.com/input/?...D1+to+infinity

[fartassette]

Bonsoir,

Il faut tout de même se rendre compte qu'en manipulant des séries divergentes terme à terme comme le fait l'auteur de la vidéo, on peut obtenir pour chaque série n'importe quelle valeur. C'est évidemment complètement faux. Mais je vois qu'il parle de l'effet Casimir

Tout à fait d'accord ,d'ailleurs Abel disait en 1826
Les séries divergentes sont une invention du diable et c’est une honte qu’on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut tirer d’elles tout ce qu’on veut quand on les emploie et ce sont elles qui ont produit tant d’échecs et tant de paradoxes. (…) Mes amis, voici quelque chose dont il faut se moquer.

[Merlin95]

Oui mais alors c'est juste une coïncidence que ça donne -1/12 pour l'effet Casimir ou y-a-t-il quand même un lien ?

[stefjm]

Et on fait honneur à Abel en nommant une sommation possible :
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...ion_d'Abel

parmi d'autres

• Sommation de Cesàro
• Sommation de Ramanujan
• Sommation de Borel
• Sommation de Mittag-Leffler

[gg0]

Merci ThM55 pour cette utile contribution.

[Médiat]

Bonsoir,

Tout à fait d'accord ,d'ailleurs Abel disait en 1826
Les séries divergentes sont une invention du diable et c’est une honte qu’on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut tirer d’elles tout ce qu’on veut quand on les emploie et ce sont elles qui ont produit tant d’échecs et tant de paradoxes. (…) Mes amis, voici quelque chose dont il faut se moquer.

Si on considère comme ridicule tous les points contestés par les mathématiciens du 19ième ou 20ième siècle, il faudrait abandonner les infinitésimaux, la théorie de ensembles etc, si on remonte au 18ième, d'Alembert qui n'était pas un crétin complet disait que

racine(2) n'est point un nombre proprement dit, c'est une quantité qui n'existe point, qu'il est impossible de trouver

Il faut bien comprendre que si dire que la somme de tous les entiers = -1/12 est une ânerie sans nom, il est tout à fait correct d'écrire :


où le a une signification précise.

[Amanuensis]

ah oui exact. Il donne une démonstration pour les anneaux Zn alors que je parlais des corps Fq. Par exemple c'est vrai dans F4 mais pas dans Z4. Mais on ne va pas chipoter...

??? Il me semble avoir indiqué que ce n'est pas nul pour les nombres multiples de 2 ou 3. Pour n=4, 0+1+4+9 n'est pas un multiple de 4, anneau ou corps, pareil. (C'est bien égal à 3.4.7/6, mais la division par six vire un facteur de 4, comme cela se produit pour tout modulo non premier avec 6. Et ni n-1 ni 2n-1 amèneront le facteur perdu. -- on peut expliquer autrement, mais cela revient à ça.)

(La propriété d'être un corps n'intervient pas en fait. La division n'intervient pas dans la question de la somme des carrés.)

[Médiat]

??? Il me semble avoir indiqué que ce n'est pas nul pour les nombres multiples de 2 ou 3. Pour n=4, 0+1+4+9 n'est pas un multiple de 4, anneau ou corps, pareil. (C'est bien égal à 3.4.7/6, mais la division par six vire un facteur de 4, comme cela se produit pour tout modulo non premier avec 6. Et ni n-1 ni 2n-1 amèneront le facteur perdu. -- on peut expliquer autrement, mais cela revient à ça.)

(La propriété d'être un corps n'intervient pas en fait. La division n'intervient pas dans la question de la somme des carrés.)

Votre démonstration utilise les propriétés de Zn,

Dans Z4 : 0^2+1^2+2^0+3^2 = 2
Dans F4 : 0+ 1^2+a^2+ (a^2)^2=0+1+a^2+ a = 0 (c'est un corps de caractéristique 2)