1²+2²+3²+4²+5²+...=0

[Amanuensis]

Oui mais alors c'est juste une coïncidence que ça donne -1/12 pour l'effet Casimir ou y-a-t-il quand même un lien ?

Je pense qu'il y a un lien, ne serait-ce parce qu'il est bien question de sommer tous les entiers dans les deux cas. Ce qu'indique ThM55 est mathématique, l'application à l'effet Casimir rien de plus qu'une application.
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[Merlin95]

Oui ok c'est vrai. C'est bien "débunké" je pense.

[Médiat]

Il fallait lire
Dans Z4 : 0^2+1^2+2^2+3^2 = 2
Dans F4 : 0+ 1^2+a^2+ (a^2)^2=0+1+a^2+ a = 0 (c'est un corps de caractéristique 2)

[amineyasmine]

J'ai vu ..... 1+2+3+4+5+...=-1/12 et je l'ai compris.
Maintenant, je voudrais me pencher sur la formule 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Si A = 1+2+3+4+5+...=-1/12 est vrai alors toute somme est égale à -1/2

Soit B = 1+1+1+1+…..1+1+…..
B= 1+ (1+1) + (1+1+1) + (1+1+1+1) + …
B = 1 +2+3+4+….. = A = -1/2
Donc B=1+1+1+1+…+1+1+…. = -1/2

Pour la somme des carrés on écrit :
B= 1 + (1+1+1+1) + (1+1+1 .. 9fois) + (1+1+1+1 … 25fois)+ ….
B= 1²+2²+3²+4²+5²+...= -1/2

Ce n’est pas amusant tout cela

[0577]

Bonjour,

pour les personnes intéressées par un contexte historique, je mets un lien vers l'article original d'Euler (et qui est par chance en français!)
(dans cet article, Euler semble deviner le principe du prolongement analytique et sous une certaine forme établit ce qui est maintenant appelé l'équation fonctionnelle de la fonction zeta).

https://scholarlycommons.pacific.edu...xt=euler-works

[Amanuensis]

Votre démonstration utilise les propriétés de Zn,

Dans Z4 : 0^2+1^2+2^0+3^2 = 2
Dans F4 : 0+ 1^2+a^2+ (a^2)^2=0+1+a^2+ a = 0 (c'est un corps de caractéristique 2)

Oui. Je n'ai pas l'habitude de la notation F4, pour moi Fq réservé à q premier. En plus (pas sur de ma mémoire) il y a des n tels qu'il y a des plusieurs corps non isomorphes de n éléments, et si c'est bien le cas la notation Fn ne peut pas être généralisée. A vérifier.

Et le fil concerne la somme des premiers entiers (cadre dans lequel peuvent entrer tous les anneaux Z/nZ, mais pas tous les corps à n éléments).

Néanmoins admettons la généralisation aux corps de taille finie, la propriété de nullité de la somme des n éléments d'un corps fini (cf. message #36) a quelles exceptions en plus de F2 et F3 ?

[Amanuensis]

Ce n’est pas amusant tout cela

Amusant ? C'est affaire de goût. Mais instructif, ça c'est certain.

[Médiat]

Oui. Je n'ai pas l'habitude de la notation F4, pour moi Fq réservé à q premier.

Il faut et il suffit que q soit une puissance d'un premier

En plus (pas sur de ma mémoire) il y a des n tels qu'il y a des plusieurs corps non isomorphes de n éléments, et si c'est bien le cas la notation Fn ne peut pas être généralisée. A vérifier.

Non, il ne peut y avoir qu'un seul corps d'un cardinal donné

Et le fil concerne la somme des premiers entiers (cadre dans lequel peuvent entrer tous les anneaux Z/nZ, mais pas tous les corps à n éléments).

Oui, ce qui se généralise facilement :

dans un corps fini on a bien que la somme des carrés de tous les éléments est nulle

[Amanuensis]

Noté.

(Si on avait eu un corps de cardinal n pour tous les entiers, une démo (fausse évidemment) de la somme nulle à l'infini aurait été de considérer la suite des sommes en les considérant comme celles des carrés des éléments...)

Une démo directe pour la propriété de la nullité de la somme des carrés des éléments de tout corps fini?

(Parce que, contrairement à ce qu'indique le messages #49, je n'en ai pas donné de démonstration, ainsi qu'indiqué en #50.)

[Médiat]

Il manque des choses (puissance de 2 et de 3), mais peut être une piste :

Soit de cardinal

trivial



Or (il suffit d'apparier chaque élément et son opposé (ne marche pas en caractéristique 2)) et puisqu'on est en caractéristique p

Donc en caractéristique différente de 3 cela implique le résultat.

[MissJenny]

je note F un corps fini et G son groupe multiplicatif.

Dans tout corps les seuls éléments dont le carré est 1 sont -1 et 1 (la théorie des équations polynômiales est à peu près la même dans tous les corps). Donc dès que G a plus de 2 éléments, il existe un élément c de G dont le carré est différent de 1 (et de 0).

Dans G l'application (translation à gauche) x -> cx est une bijection (c'est vrai dans tous les groupes) donc si f est une application quelconque de G dans G la somme pour tous les éléments x de G des f(x) est égale à la somme pour tous les éléments x de G des f(cx). C'est vrai en particulier pour f : x -> x^2 et on a donc que la somme S des x^2 est égale à la somme des c^2x^2 et donc on a S=c^2*S avec c^2 différent de 0 et 1, donc S=0

[Médiat]

Argh, ce n'est pas avec l'addition, mais avec la multiplication qu'il fallait jouer :


Soit tel que qui existe pour tous les corps finis de cardinal > 3

La fonction définie par est une bijection (trivial)
donc



QED

Edit : Busted by MissJenny

[Médiat]

Il fallait lire

[MissJenny]

Edit : Busted by MissJenny

mais je n'ai aucune mérite, je ne l'ai pas inventée. J'avais d'ailleurs le souvenir d'une démonstration plus jolie, en une ligne. C'est pour ça que je pensais l'avoir lue chez Serre. Cela dit Serre est capable de dire beaucoup de choses en une ligne...

[Amanuensis]

Bien.

Maintenant cela n'est pas "la somme des carrés des n premier entiers".

Si je prends F4, les quatre premiers "entiers" sont 0, 1, 1+1, 1+1+1, c'est à dire 0, 1, 0, 1. La somme de leurs carrés est bien nulle (caractéristique 2).

Pour F9, on va se retrouver avec 3 fois la somme des carrés de 0, 1 et 2, ce qui fera bien 0 à cause de la multiplication par 3. Et cela se généralise.

Là encore, les seules exceptions seront F2 et F3.

[Médiat]

Votre question était :

Une démo directe pour la propriété de la nullité de la somme des carrés des éléments de tout corps fini?

Désolé d'y avoir répondu !

Un truc m'a énervé dans cette discussion.

[Amanuensis]

Votre question était :

Désolé d'y avoir répondu !

??? C'est exactement ce que j'attendais.

[stefjm]

Si cela peut détendre l'atmosphère, je peux dire une connerie mathématique du genre :



et pour le même prix :

[Médiat]

Si cela peut détendre l'atmosphère, je peux dire une connerie mathématique du genre :



et pour le même prix :

D'où on déduit immédiatement que et autres aberrations.

[stefjm]

Si cela peut détendre l'atmosphère, je peux dire une connerie mathématique du genre :



et pour le même prix :

Avec la définition des



Et pour le produit infini des premiers, l'article auquel je n'ai rien compris :
https://mathworld.wolfram.com/PrimeProducts.html

https://webusers.imj-prg.fr/~ricardo...es/CMP2008.pdf

Est-ce que j'ai une gueule d'atmosphère?...

[MissJenny]

pour étendre encore un peu la question : que se passe-t-il dans C ? (pour R c'est sans espoir...) On ne peut pas faire la somme des carrés des éléments de C il y en a trop, mais on peut calculer des intégrales de la fonction z -> z^2. Or... miracle : l'intégrale de z^2 sur le disque unité est nulle. Donc en un sens (tiré par les cheveux) la somme des carrés des nombres complexes est nulle.

[Amanuensis]

Annulé, mal lu.

[Amanuensis]

Pour C, c'est un peu comme les corps finis de cardinal >3. C'est l'existence de deux racines distinctes de x²+1 qui joue. Cela permet, par la multiplication de l'une d'elle, d'exhiber une bijection au sein des éléments non nuls telle que le carré d'un élément annule le carré de son image par la bijection, donc une somme totale nulle.

On doit (?) pouvoir généraliser à tout corps tel que que le polynôme x²+1 a deux racines distinctes.

[Amanuensis]

PS : Amélioration: Remplacer "d'exhiber une bijection " par "d'exhiber une bijection sans point fixe"

[Médiat]

(pour R c'est sans espoir...)

Soyons con jusqu'au bout, dans IR, f(x) = 2 x est une bijection donc la démonstration #72 fonctionne (pour Q aussi)
mais bon, cela ne donne toujours pas une définition d'une somme infinie

[stefjm]

Quelques documents en rapport avec le sujet.

John Baez : https://math.ucr.edu/home/baez/numbers/24.pdf

Terence Tao : https://terrytao.wordpress.com/2010/...-continuation/

[Amanuensis]

Le proposition en #83/84 est acceptable pour C, non?

(Elle s'applique aux Fp, p premier aussi, mais pas à F4 par exemple.)

[Artimoun]

Bonjour,
Logiquement toutes ces somme tendent vers l infini, mais peut être elles convergent vers des nombres finis, on a pas encore ce paysage mathématique qui nous ouvre ces univers cachés.
En plus, la physique dans plusieurs cas nous a révélé ces mystères, comme dans le cas de non commutativité de produit des matrices ,découverte grâce à la mécanique quantique
Donc tout a un sens
Merci

[Deedee81]

Salut,

Logiquement toutes ces somme tendent vers l infini, mais peut être elles convergent vers des nombres finis

En plus, la physique dans plusieurs cas nous a révélé ces mystères, comme dans le cas de non commutativité de produit des matrices ,découverte grâce à la mécanique quantique

Non, non, le produit matriciel était déjà connu. Heisenberg l'a simplement redécouvert

[albanxiii]

Bonjour,

Logiquement

Ici plus qu'ailleurs, se méfier des phrases commençant ainsi.

Si vous aviez pris la peine de lire le fil vous auriez économisé un message.