1²+2²+3²+4²+5²+...=0

**SPH** · 19/05/2021, 09h43

Salut à tous !
(ca faisait looongtemps)

J'ai vu une vidéo youtube extraordinaire sur le calcul de 1+2+3+4+5+...=-1/12 et je l'ai compris.
Maintenant, je voudrais me pencher sur la formule 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Existe t-il un développement simple à comprendre ?

Grand merci

**Médiat** · 19/05/2021, 10h02

Bonjour,

Envoyé par SPH

J'ai vu une vidéo youtube extraordinaire sur le calcul de 1+2+3+4+5+...=-1/12 et je l'ai compris.
Maintenant, je voudrais me pencher sur la formule 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Comme on ne sait pas de quelle vidéo vous parlez, nous ne savons pas si ce que vous écrivez est un raccourci (fautif) ou si la vidéo n'a rien à voir avec les mathématiques.

La première chose à comprendre, c'est qu'en l'état, 1+2+3+4+5+...=-1/12 et 1²+2²+3²+4²+5²+...=0 n'ont pas de sens !

**Deedee81** · 19/05/2021, 10h37

Salut,

Il y a déjà eut des discussions là-dessus, faut les retrouver

**MissJenny** · 19/05/2021, 11h14

curieusement, l'égalité avec la somme de carrés me paraît encore plus criminelle que la première...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Amanuensis** · 19/05/2021, 11h24

Criminelle ?

C'est un peu fort.

Ce sont des affirmations qui n'ont pas de sens "tel qu'elles", simplement parce que totalement sorties de leur contexte.

S'il y a un "dommage" (sous-entendu par le terme "crime"), c'est dû à la victime, qui choisit un contexte qui n'est pas le bon.

Quand on saute trop vite aux conclusions, on peut se faire mal.

**SPH** · 19/05/2021, 11h28

Je parlais de cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=xqTWRtNDO3U

**Amanuensis** · 19/05/2021, 11h49

Comme je n'irai pas la regarder, un résumé suffisant pour en comprendre l'aspect criminel serait utile aux intransigeants (sur le fonctionnement de certains médias) comme moi.

**Médiat** · 19/05/2021, 12h35

J'ai regardé les 20 premières secondes : totalement fautif !

Peut-être que sur 16mn l'auteur confesse son appétence pour le sensationnalisme et corrige ses erreurs, mais comme dit Deedee (je m'étais promis de la faire celle-là) il vaudrait mieux regarder les discussions sur ce sujet dans le forum FSG

**MissJenny** · 19/05/2021, 12h56

Envoyé par Amanuensis

Criminelle ?

C'est un peu fort.

énoncer des horreurs mathématiques est un crime. Et d'autant plus qu'on est conscient de leur insanité, comme disait Bert Brecht (pas à propos de mathématiques) :

Wer die Wahrheit nicht weiß, der ist bloß ein Dummkopf. Aber wer sie weiß und sie eine Lüge nennt, der ist ein Verbrecher.

**Amanuensis** · 19/05/2021, 14h02

Envoyé par MissJenny

énoncer des horreurs mathématiques est un crime.

Ben non. La liberté d'expression est dans nos lois ; y compris les mensonges en pleine connaissance de cause. C'est au lecteur de se défendre.

Plutôt que fustiger l'usage d'une liberté (à laquelle on tient en général), il serait plus utile d'aider les lecteurs à se défendre.

-----

Par ailleurs, on s'éloigne largement du sujet de la discussion tel que délimité par le message #1. Même si déplorer est un des sports des plus courants sur ce forum, ce n'est pas le propos principal du forum.

Une réponse constructive au message #1 serait la bienvenue.

**fartassette** · 19/05/2021, 18h14

Bonjour,

Une bille plus deux billes ..plus n billes donne un nombre très grand c'est d'ailleurs assez intuitif.Dans la pratique courante des nombres il convient de poser que l'objet 1+2+3+… est égal à l’infini.
Ce que fait Ramanujan, c’est explorer un « autre monde », dans lequel les règles sont différentes. Trancher pour savoir si cet autre monde est plus « vrai » que celui qui nous fait écrire que 1+2+3+… n’est pas une question d’ordre mathématique. L’essentiel pour un mathématicien est de s’assurer que cet autre monde dispose d’une cohérence interne. Les utilisateurs des mathématiques (physiciens, informaticiens, ingénieurs…) peuvent quant à eux utiliser le formalisme de ces « mondes alternatifs » pour répondre à des questions bien concrètes. Ainsi, le point de vue de Ramanujan qui fait écrire que 1+2+3+…=-1/12 sert à la description d’un phénomène physique (l’effet Casimir).

Ce simple R au dessus de la somme est la pour rappeler que on ne fait pas une somme ordinaire de nombre entier,on fait une somme avec un sens mathématique bien différent.
Le R en hommage biensur à Ramanujan

$\text{[math]}$
Cordialement,

**Médiat** · 19/05/2021, 18h24

Envoyé par fartassette

Ce simple R au dessus de la somme est la pour rappeler que on ne fait pas une somme ordinaire de nombre entier,on fait une somme avec un sens mathématique bien différent.
Le R en hommage biensur à Ramanujan

$\text{[math]}$

+1

A noter que l'article de wikipedia est correct sur ce point :

Envoyé par wikipedia

Bien que la sommation de Ramanujan pour des séries divergentes ne soit pas une somme dans son sens traditionnel, elle possède des propriétés qui la rendent mathématiquement valide dans l'étude des séries divergentes, pour lesquelles le résultat de la méthode de sommation habituelle n'est pas défini.

y compris sur la notation, par exemple : $\text{[math]}$ , le $\text{[math]}$ pour Ramanujan bien sûr (notation que je préfère).

**Amanuensis** · 19/05/2021, 21h30

J'ai une vague réminiscence que la convergence de ces sommes étaient correctes avec une norme p-adique ??? Ou quelque chose comme ça.

Je ne retrouve pas cela dans l'article Sommation de Ramanujan, et ni avec la référence aux p-adiques dans "Nombre de Bernoulli".

Ma mémoire me joue-t-elle des tours ? (Tout à fait possible.)

**Médiat** · 19/05/2021, 21h48

Je ne serais pas surpris que votre mémoire soit correcte, je n'ai pas de source sous la main, mais dans les p-adiques on a des résultat comme :

(10-adique) 9 +90 +900 + ... = ...999 = -1

**stefjm** · 20/05/2021, 09h52

Forum du superieur, donc tolerance et explications...

Serais-je pendu si j'ecris :

$\text{[math]}$

??

**Deedee81** · 20/05/2021, 10h08

Salut,

Envoyé par stefjm

Serais-je pendu si j'ecris :

Je ne vois pas le rapport avec le développement en série donné plus haut ????

**Biname** · 20/05/2021, 10h09

Salut,

Envoyé par MissJenny

curieusement, l'égalité avec la somme de carrés me paraît encore plus criminelle que la première...

Démontrer que c'est faux est plus simple que de démontrer que c'est vrai !
Biname

**stefjm** · 20/05/2021, 10h52

Envoyé par Deedee81

Salut,
Je ne vois pas le rapport avec le développement en série donné plus haut ????

Il faut preciser des bricoles pour que les mathematiciens ne ralent pas...

**Deedee81** · 20/05/2021, 11h11

Envoyé par stefjm

Il faut preciser des bricoles pour que les mathematiciens ne ralent pas...

D'accord. C'est juste.

**gg0** · 20/05/2021, 13h39

Bonjour Stefjm.

Je me sens mathématicien, mais je n'ai aucune envie de te pendre si tu écris ça. Simplement, si ce n'est pas précisé par ailleurs, de te demander ce que tu appelles a^b quand a n'est pas un réel positif ou b n'est pas un entier. Car comme tu n'as pas dit qui est x, ton égalité est classique pour x entier, et souvent utilisée. Mais le fait d'utiliser x traduit peut-être une idée implicite de "qui est x".

Les matheux se méfient simplement, par nécessité professionnelle, des notations et écritures qui risquent d'être mal interprétées, en particulier, pour en revenir au message du début, les sommes continuées par ... qui peuvent avoir plusieurs significations. D'ailleurs :
1²+2²+3²+4²+5²+...=0 est vrai car pour moi, les ... signifient i²+(2i)²+(3i)²+(4i)²+(5i)².

Cordialement.

**stefjm** · 20/05/2021, 14h55

x réel ou même complexe

$\text{[math]}$
est une generalisation de la relation classique avec les entiers.

**gg0** · 20/05/2021, 15h23

Oui, c'est ce que je disais. Mais ça ne définit pas $\text{[math]}$ . Ou, si tu le prends comme définition, c'est incompatible avec d'autres définitions et avec les propriétés classiques des puissances.
Par exemple $\text{[math]}$ est l'application des règles classiques, et te dit que $\text{[math]}$ ne peut valoir que 1 ou -1, mais ta généralisation donne $\text{[math]}$ qui ne vaut ni 1 ni -1.

Donc libre à toi d'utiliser ta généralisation, mais en n'utilisant que les calculs valides (que tu dois connaître, si tu l'utilises souvent).

Cordialement.

**Amanuensis** · 20/05/2021, 15h24

Envoyé par stefjm

x réel ou même complexe

$\text{[math]}$
est une generalisation de la relation classique avec les entiers.

Certes, et on peut faire cela avec des matrices, et bien d'autres choses encore (https://fr.wikipedia.org/wiki/Application_exponentielle).

Mais est-ce bien dans le cadre de la discussion telle que démarrée par le message #1.

Je ne pense pas.

**stefjm** · 20/05/2021, 15h38

Ce sont des relations formelles à utiliser dans un cadre précis.

**Deedee81** · 20/05/2021, 15h57

Envoyé par stefjm

Ce sont des relations formelles à utiliser dans un cadre précis.

Ben justement, la question n'était pas en toute généralité sur les relations formelles à utiliser dans un cadre précis mais sur le développement infini indiqué par SPH.

**stefjm** · 20/05/2021, 17h57

Envoyé par gg0

Oui, c'est ce que je disais. Mais ça ne définit pas $\text{[math]}$ . Ou, si tu le prends comme définition, c'est incompatible avec d'autres définitions et avec les propriétés classiques des puissances.
Par exemple $\text{[math]}$ est l'application des règles classiques, et te dit que $\text{[math]}$ ne peut valoir que 1 ou -1, mais ta généralisation donne $\text{[math]}$ qui ne vaut ni 1 ni -1.

Donc libre à toi d'utiliser ta généralisation, mais en n'utilisant que les calculs valides (que tu dois connaître, si tu l'utilises souvent).

Cordialement.

Ce n'est pas "ma" généralisation, c'est juste le classique $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
Cela conserve le module à 1.

Le lien avec le premier message est que l'explication passe par les complexes et que ces sujets "énervent" souvent les intervenants.

Ceci dit, quand on voit le nouveau programme de terminale scientifique et de fac, il va falloir peut-être modifier l'organisation des forums de mathématiques de FSG...

**gg0** · 20/05/2021, 18h12

Tout à fait d'accord avec ton $e^{\imath.\pi.x}=\cos $\pi.x$+\imath.\sin$\pi.x$$ , mais il ne peut pas y avoir de -1 sans tricher.

Là où tu triches (pour le matheux) c'est quand tu mélanges deux règles de domaine différent pour faire apparaître le -1. Tu utilises la règle $\text{[math]}$ qui n'est valable à priori que pour b réel positif. Ton b est un complexe !!
J'espère que tu n'enseignes pas ça, car je te l'ai montré, ça aboutit à des absurdités (pour ma part, j'ai aussi appliqué cette règle, mais parce que tu l'appliquais).
Effectivement, les matheux sont pénibles, mais ils aident à calculer de façon cohérente. A éviter que le carré de tout complexe soit 1.

Cordialement.

**stefjm** · 20/05/2021, 18h24

Envoyé par SPH

Salut à tous !
(ca faisait looongtemps)

J'ai vu une vidéo youtube extraordinaire sur le calcul de 1+2+3+4+5+...=-1/12 et je l'ai compris.
Maintenant, je voudrais me pencher sur la formule 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Existe t-il un développement simple à comprendre ?

Grand merci

Simple à comprendre cela dépend.

Ce sont des régularisations de Dirichlet.
$\text{[math]}$

https://www.google.com/search?q=diri...larization+sum

Avec le même genre de régularisation, on arrive à

$\text{[math]}$

avec la régularisation :
https://www.wolframalpha.com/input/?...D1+to+infinity

**stefjm** · 20/05/2021, 19h05

Envoyé par gg0

Là où tu triches (pour le matheux) c'est quand tu mélanges deux règles de domaine différent pour faire apparaître le -1. Tu utilises la règle $\text{[math]}$ qui n'est valable à priori que pour b réel positif. Ton b est un complexe !!
J'espère que tu n'enseignes pas ça, car je te l'ai montré, ça aboutit à des absurdités (pour ma part, j'ai aussi appliqué cette règle, mais parce que tu l'appliquais).

Non, je n'enseigne pas cela. Je me contente de la définition avec le ln complexe.

$\text{[math]}$

Comme Alpha.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29%5Ex

Petite réponse d'un oscillateur amorti : (-1/2)^x
https://www.wolframalpha.com/input/?...aviside%28x%29

Cordialement.

**albanxiii** · 20/05/2021, 19h31

Envoyé par stefjm

Ce sont des relations formelles à utiliser dans un cadre précis.

Très capillotracté...
Moi j'aurais dit "c'est des relations avec "=" dedans.

1²+2²+3²+4²+5²+...=0

1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0

Re : 1²+2²+3²+4²+5²+...=0