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Série "presque" géométrique...



  1. #1
    Tolkirum

    Série "presque" géométrique...


    ------

    q est une raison dans ]0,1[.

    Bonjour, je me suis retrouvé dans un exercice de probas à devoir étudier la convergence de la série de terme général q^(n^bêta), avec bêta dans ]0,1[.

    Au vu des questions qui suivent dans l'exercice et d'une vague intuition, je pense que cette série converge - les "vraies" séries géométriques convergent assez vite, par exemple les séries de termes généraux q^n ou (q/2)^n. Mais impossible de se comparer à ces "vraies" séries géométriques, puisqu'elles convergent plus vite que ma série quelque soit la raison...

    Les autres méthodes classiques semblent échouer, notamment la comparaison à d'autres séries de référence ou la règle de d'Alembert.

    J'ai aussi pensé à comparer à l'intégrale correspondante, mais elle n'est pas calculable, encore une fois à cause de ce bêta importun.

    Des pistes ?

    -----

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  3. #2
    jacknicklaus

    Re : Série "presque" géométrique...

    Bonjour,


    pour n entier > 1, et b réel dans ]0,1[; 1 < nb <= n

    non ?
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  4. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Série "presque" géométrique...

    Bonjour Tolkirum.

    "les "vraies" séries géométriques convergent assez vite" ?? A priori, la série géométrique de terme général diverge, sauf pour de rares valeurs de .

    Autre remarque : pour .

    Bonne réflexion !

  5. #4
    Tolkirum

    Re : Série "presque" géométrique...

    Merci jacknicklaus pour ta réponse !
    En effet, n^beta <= n.
    Mais ici n^beta est en puissance d'un nombre compris entre 0 et 1 ! Donc la majoration est dans le mauvais sens.

    On s'en rend bien compte avec le cas particulier qu'évoque gg0 : q^(rac(n)) est bien supérieur à q^n.

    J'ai pensé à ce cas particulier gg0, mais le problème est toujours le même : la série des q^(n^(1/2)) converge moins vite que la série q^n, donc je ne vois pas plus ce qu'on peut faire... Et idem en intégration.

    (Ici l'exercice ne parle que de raisons dans ]0,1[, d'où mon raccourci de langage : je parle des séries géométriques de raison dans cet intervalle.)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Tolkirum

    Re : Série "presque" géométrique...

    Nom : 2021-06-10 20_50_53-Calculatrice Suite - GeoGebra.png
Affichages : 48
Taille : 42,3 Ko

    Pour appuyer ma réflexion en prenant un cas simple... En bleu, la fonction associée à la suite qu'on cherche à majorer. Je n'ai pas idée de comment faire, ni de si c'est possible...
    Mais l'ennui c'est que je ne sais pas quel théorème utiliser sinon.

  8. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Série "presque" géométrique...

    Ah, si q est entre 0 et 1, ça change tout (tu n'as pas donné tout l'énoncé !!).

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  10. #7
    Resartus

    Re : Série "presque" géométrique...

    Bonjour,
    La règle de d'alembert marche, mais il faut un peu travailler sur l'exposant de q obtenu dans ls diviision
    Dernière modification par Resartus ; 11/06/2021 à 17h27.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  11. #8
    MissJenny

    Re : Série "presque" géométrique...

    il me semble que la comparaison avec l'intégrale marche aussi.

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