Série "presque" géométrique...

[Tolkirum]

q est une raison dans ]0,1[.

Bonjour, je me suis retrouvé dans un exercice de probas à devoir étudier la convergence de la série de terme général q^(n^bêta), avec bêta dans ]0,1[.

Au vu des questions qui suivent dans l'exercice et d'une vague intuition, je pense que cette série converge - les "vraies" séries géométriques convergent assez vite, par exemple les séries de termes généraux q^n ou (q/2)^n. Mais impossible de se comparer à ces "vraies" séries géométriques, puisqu'elles convergent plus vite que ma série quelque soit la raison...

Les autres méthodes classiques semblent échouer, notamment la comparaison à d'autres séries de référence ou la règle de d'Alembert.

J'ai aussi pensé à comparer à l'intégrale correspondante, mais elle n'est pas calculable, encore une fois à cause de ce bêta importun.

Des pistes ?
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[jacknicklaus]

Bonjour,


pour n entier > 1, et b réel dans ]0,1[; 1 < n^b <= n

non ?

[gg0]

Bonjour Tolkirum.

"les "vraies" séries géométriques convergent assez vite" ?? A priori, la série géométrique de terme général diverge, sauf pour de rares valeurs de .

Autre remarque : pour .

Bonne réflexion !

[Tolkirum]

Merci jacknicklaus pour ta réponse !
En effet, n^beta <= n.
Mais ici n^beta est en puissance d'un nombre compris entre 0 et 1 ! Donc la majoration est dans le mauvais sens.

On s'en rend bien compte avec le cas particulier qu'évoque gg0 : q^(rac(n)) est bien supérieur à q^n.

J'ai pensé à ce cas particulier gg0, mais le problème est toujours le même : la série des q^(n^(1/2)) converge moins vite que la série q^n, donc je ne vois pas plus ce qu'on peut faire... Et idem en intégration.

(Ici l'exercice ne parle que de raisons dans ]0,1[, d'où mon raccourci de langage : je parle des séries géométriques de raison dans cet intervalle.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tolkirum]

Pour appuyer ma réflexion en prenant un cas simple... En bleu, la fonction associée à la suite qu'on cherche à majorer. Je n'ai pas idée de comment faire, ni de si c'est possible...
Mais l'ennui c'est que je ne sais pas quel théorème utiliser sinon.

[gg0]

Ah, si q est entre 0 et 1, ça change tout (tu n'as pas donné tout l'énoncé !!).

[Resartus]

Bonjour,
La règle de d'alembert marche, mais il faut un peu travailler sur l'exposant de q obtenu dans ls diviision

[MissJenny]

il me semble que la comparaison avec l'intégrale marche aussi.