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Primitive d'une fonction complexe



  1. #1
    Itachi11

    Primitive d'une fonction complexe


    ------

    Bonsoir,
    S'il vous plaît je veux montrer que la fonction 1/z ne possède pas de primitive holomorphe dans D contenant le cercle unité. J'ai pris une fonction complexe holomorphe dans D et j'ai essayé de montrer que sa dérivée était différente de 1/z. Seulement je ne vois pas trop ce qui me permettra de conclure c'est pour ça que j'ai besoin d'aide svp.

    -----

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  3. #2
    Tryss2

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Indice : Une fonction holomorphe est infiniment dérivable

  4. #3
    Itachi11

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Bonjour,
    J'ai beau me creuser la tête je ne vois tjrs pas comment utiliser cet indice
    Merci

  5. #4
    Tryss2

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Si 1/z a une primitive holomorphe sur D, notée F, ça veut dire que F est dérivable sur D, et la dérivée de F est elle aussi dérivable sur D

    Est-ce que 1/z est dérivable sur D?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Itachi11

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Oui tant que D est un domaine ne contenant pas zéro à mon avis 1/z y est dérivable D contient le cercle unité donc pas nécessairement le point zero

  8. #6
    Resartus

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Bonjour,
    Une démonstration consiste à intégrer* la fonction 1/z sur un tour complet du cercle unité. S'il existait une fonction holomorphe primitive, on devrait trouver 0.
    Est-ce le cas?

    *Je suppose qu'on n'est pas censé utiliser les propriétés de ln(z), donc il faut le calculer "à la main" par le changement de variable z=exp(itheta) et se ramener à des calculs réels
    Dernière modification par Resartus ; 18/06/2021 à 08h31.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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  10. #7
    Tryss2

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Erf, désolé, mon cerveau avait lu "disque" à la place de cercle

  11. #8
    Itachi11

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    1/z étant holomorphe dans C* et C* est un ouvert étoilé qui contient le cercle unité qui est une courbe fermée donc d'après le théorème de Cauchy en intégrant 1/z sur le cercle on trouve bien zéro. Mais je ne comprends pas en quoi ça resouds mon problème.

  12. #9
    Resartus

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Bonjour,
    Faites réellement le calcul, au lieu de citer de manière erronée le théorème de cauchy, et vous verrez qu'on ne trouve pas du tout zero.
    Vous allez trouver très précisément i.2pi (pour un tour du cercle unité).
    Dernière modification par Resartus ; 18/06/2021 à 20h08.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  13. #10
    Itachi11

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Bonjour
    En effet le calcul donne bien i.2pi . Mais s'il vous plaît j'ai encore une question pourquoi est ce que cette intégrale devrait donner zéro si f admet une primitive? Et pourquoi est ce que le théorème de Cauchy que j'ai ennencé est faux?
    Mr

  14. #11
    Resartus

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Bonjour,
    C'est une preuve par l'absurde : s'il existait une fonction holomorphe (unique à un constante près) qui soit primitive de 1/z, alors l'intégrale sur un chemin fermé serait nulle.
    Comme ce n'est pas le cas, la "primitive" n'est pas une fonction holomorphe.
    Mais cette anomalie est très intéressante et fertile :
    1) sur un domaine où on peut faire le tour de zero, ces "fonctions" primitives sont seulement définies à 2ikpi près. On dit qu'elle sont multivaluées
    2) on peut tout à fait définir une primitive holomorphe, à condition de restreindre le domaine pour qu'aucun chemin ne puisse tourner autour de zero . On peut le faire par ce qu'on appelle une coupure dans le plan (une demidroite qui part de zero et va à l'infini dans une direction quelconque, et qu'on n'a pas le droit de franchir
    3) parmi ces vrais primitives (qui sont donc définies à une constante près), il y en a une qui est identique à la fonction logarithme sur l'axe réel. On l'appelle par convention ln(z).
    Voyez par exemple ceci https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe


    4) Ensuite, mais cela nous entraine bien plus loin, le fait qu'une fonction contienne dans son développement un terme en 1/(z-a), où a est un "pôle", aura pour conséquence que toute intégrale tournant autour de ce pôle aura une valeur connue. C'est le théorème des résidus, très utile pour le calcul de certaines intégrales compliquées
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  15. #12
    Itachi11

    Re : Primitive d'une fonction complexe

    Merci bien pour ces explications

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