Urnes et probabilités

[MthS02]

Bonjour,

Voici un problème de probabilités sur lequel je sèche un peu... Quelqu'un aurait-il une idée de la façon de procéder pour le résoudre ?

1) On considère une urne avec n boules blanches et n boules noires, on effectue des tirages sans remise jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule couleur dans l'urne. Soit X_n la variable aléatoire correspondant au nombre de boules restantes après ces tirages, donnez la loi de X_n.

2) On considère 2 urnes avec n boules dans chacune, à chaque tirage (sans remise) on choisit l'une des urnes de manière équipropable, on effectue ces tirages jusqu'à ce que l'urne que l'on choisit soit vide. Soit Y_n la variable aléatoire correspondant au nombre de boules restantes dans l'autre urne, donnez la loi de X_n et un équivalent de son espérance.


Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Je traite le 1).
Tu peux regarder les cas élémentaires n=1 et n=2.
Ensuite, pour n grand, que signifie X_n = k ? Comment cela peut-il se produire ? Connais-tu la loi du tirage de p individus de type A et q de type B dans une population d'individus de type soit A soit B et de taille N ? Si tu n'as pas vu cette variable aléatoire classique dans tes cours, tu peux retrouver sa loi avec les règles élémentaires de probas.

A toi de faire ... Cordialement.

[MthS02]

Il faudrait utiliser la loi hypergéométrique ?
Xn = k signifie qu'on a tiré n boules d'une couleur, n-k de l'autre, donc P(Xn=k) = 2*(n parmi n)*(n-k parmi n) /(2n - k parmi 2n) = 2*(k parmi n)/(k parmi 2n) (le facteur 2 car il peut rester des boules blanches ou des boules noires) ?

[gg0]

Oui, tu es bien parti ... Es-tu sûr que la somme des probas fait bien 1 ?
Mais n'aurais-tu pas su faire seul en te posant les bonnes questions ? "que signifie X_n = k ?" n'est-elle pas une "bonne question" évidente ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jall2]

Bonjour

La dernière boule tirée n'est pas de la même couleur que les k boules restantes. Je ne crois pas que vous (mths02 et gg0) le preniez en compte.

S'il reste k boules blanches, c'est que:

- on a tiré n-1 boules noires et n-k boules blanches (loi hypergéométrique):


- puis on a tiré la dernière boule noire:


puis multiplication par 2 car il peut rester des boules noires ou blanches

d'où le résultat:

pour k de 1 à n

[jall2]

L'énoncé du 2ème exercice est confus:

"on effectue ces tirages jusqu'à ce que l'urne que l'on choisit soit vide"
C'est pas plutôt "jusqu'à ce que l'une des deux urnes soit vide" ?

Si c'est bien ça, c'est comme pour le 1er exercice mais avec une loi binomiale à la place de la loi hypergéométrique

[gg0]

Effectivement, c'est bien vu ! La loi hypergéométrique donne une proba cumulée.

Cordialement