Nombres premiers

[Artimoun]

Bonjour

Est ce qui il est vrai que:
Pour tout nombre premier P1 il existe un nombre premier P2 tel que (P1+P2)/2 égal à un nombre premier P3
Cela donc prouve bien qu il existe une infinité de nombres premiers

Merci beaucoup
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[invite18230371]

Oui, déjà P1 = P2 = P3
Mais ça prouve rien.

[Médiat]

Bonjour,

Il suffit de prendre P2=P1, et cela marche, mais ne prouve rien

[edit]Grillé

[Deedee81]

Salut,

Ca ne prouve pas non plus l'infinité mais est que la proposition est vraie pour P1 différent de P2,P3 ? Il me semble que oui pour avoir lu une histoire sur les suites arithmétiques de nombres premiers mais je n'en suis pas sûr.

EDIT évidemment si c'est pour tout nombre premier P1 il existe un nombre premier P2>P1 tel que [n'importe quoi] alors oui ça prouve l'infinité mais c'est idiot.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite18230371]

Enoncé comme ça on voit mieux je trouve:

Pour P1 premier il existe (au moins) un P2 premier (avec P2>P1) tel que P3 = 2.P2-P1 soit premier (par construction P3>P2>P1).

Si c'est vrai alors ça montre aussi l'infinité des nombres premiers...

EDIT évidemment si c'est pour tout nombre premier P1 il existe un nombre premier P2>P1 tel que [n'importe quoi] alors oui ça prouve l'infinité mais c'est idiot.

Edit

[Deedee81]

Ma mémoire me trompait (je pensais au théorème de Green-Tao). Mais la question reste et :

Pour P1 premier il existe (au moins) un P2 premier (avec P2>P1) tel que P3 = 2.P2-P1 soit premier (par construction P3>P2>P1).

D'accord, ça répond à ma question, merci,

[gg0]

Bonjour.

Et comment démontres-tu cette propriété ? (NB : je ne la connais pas)

Cordialement.

[MissJenny]

p3 = 2p2 - p1 signifie que p1,p2,p3 sont en progression arithmétique. Le théorème dit que tout nombre premier est le point de départ d'une progression arithmétique en nombres premiers de longueur au moins 3.

[invite18230371]

Théoreme faux.
P1 = 2 ne fonctionnera jamais

On se demande donc si :
Pour P1 premier >2, il existe (au moins) un P2 premier (avec P2>P1), tel que P3 = 2.P2-P1 soit premier (par construction P3>P2>P1).

[Deedee81]

Ah, pas si simple en définitive. Ok je vais surveiller cette discussion attentivement

[invite18230371]

Inutile mais :
C'est vrai pour les premiers inférieur à 100000.
Seul 3 à la raison 2 fonctionne sur les 100000 premiers [3;5;7] ce qui m'a beaucoup étonné.

Quelque cas difficile pour P1 et la raison:
13 raison 24
...
1249 raison 150
...
18457 raison 462
...
88327 raison 642

[invite18230371]

Aussi jusqu'a 1 millions
Avec un jolie
P1 = 499673 raison 1584

La raison est toujours un multiple de 6. Sauf le cas [3;5;7].
Toutes les raisons multiple de 6 sont présentes (pas de trous).

[MissJenny]

Seul 3 à la raison 2 fonctionne sur les 100000 premiers [3;5;7] ce qui m'a beaucoup étonné.

ça n'est pas étonnant: si tu réduis modulo 3, tu vois que l'un des nombres n,n+2,n+4 est divisible par 3, donc pour être premier il faut qu'il soit égal à 3. Et donc il n'y a que les triples 2,3,5 et 3,5,7.

[invite18230371]

Non pas vrai pour 2,3,5

Mais ok merci,
Les nombres impaire divisible par 3 sont de la forme 3+6p
Les nombres impaire indivisible par 3 sont de la forme 1+6p et 5+6p

Si de la forme: (1+6p)
Alors + 2 est divisible par 3 => Car de la forme 3+6p.
Et 1 n'est pas premier donc c'est un cas impossible.

Si de la forme: (5+6p)
Alors + 4 est divisible par 3 => Car de la forme 3+6(p+1).
Et -1 n'est pas premier donc c'est un cas impossible.


Si de la forme: (3+6p) alors seul p=0 est premier (les autres sont divisibles par 3).
3,5,7 et donc unique triplet suivant la raison 2

[TheaGracias]

Bonjour à tous
Que dis tu de l'égalité (3+13)/2=8 ?
De plus rien ne dit que p1 p2 et p3 sont des nombres premiers consécutifs dans le message de depart.

[TheaGracias]

Si tu veux dire que les p1,p2 et p3 sont consécutifs. Alors comment expliques tu (17+19)/2=18? Cela prouve t'il qu'il y a une infinité de nombres premiers? Comment ?

[invite18230371]

Bonjour TheaGracias,

Tu n'as pas bien lu le message de Artimoun...
En gros il demande : Sachant P1 premier, peut-on trouver un P3 premier, tel que P2 = (P3+P1)/2 soit premier aussi.
La réponse est oui si P1>2.

[TheaGracias]

Merci beaucoup pour la remarque.

[leg]

Bonjour

Concernant la densité des nombres premiers jumeaux Pj : par famille arithmétique de raison 30, de premier terme et la densité de premiers relatif au projet Polymath avec un écart de 246 entre deux nombres premier et par famille tel que .

Il semblerait, puisqu'il a été démontré dans ce projet, qu'il y aurait une infinité de couples de premiers ayant un écart de 246... Or si la densité par famille de couples de Pj ayant un écart de 2 est équivalente avec les premiers ayant un écart de 246 voir oscillatoire lorsque la limite N tend vers l'infini, il est clair que cela prouverait aussi l'infinité de .

La raison est ""algorithmique "" c'est à dire une conséquence du crible P modulo 30 , qui crible par famille de façon identique ces nombres premiers avec une base de 8 premier appartenant à [7 ; 31] qui ""tournent en boucle""...

voici une illustration de densité pour quelque limites par tranche de 100 nombres premiers P et avec ; pour ne pas commencez avec les petits nombres premiers.
Avec les séries = familles : 1 modulo 30 , 29 modulo 30 , 7 modulo 30 .
La famille (1 mod 30) + 246 donne la famille 7 modulo 30 et (29 mod 30) + 2 = famille 1mod 30.

Serie1 de.pdfSérie 29..pdfSérie 7 de 10000000 à 9939780.pdf

[jacknicklaus]

Bonjour,

Il semblerait, puisqu'il a été démontré dans ce projet, qu'il y aurait une infinité de couples de premiers ayant un écart de 246...

Non, ce n'est pas celà. Le projet a démontré qu'il existait des intervalles bornés se reproduisant une infinité de fois entre premiers consécutifs, et a prouvé qu'une borne supérieure de ces tels intervalles était la valeur 246. Il n'a pas été prouvé que 246 était un intervalle se reproduisant un nombre infini de fois entre premiers consécutifs. https://polymathprojects.org/2013/06...etween-primes/

Sinon, quand bien même cette valeur de 246 aurait été prouvée, et s'il existait un moyen aussi simple (tenant en tes 8 lignes) de prouver son applicabilité à l'intervalle 2, n'es tu pas un peu présomptueux de penser qu’aucun des mathématiciens qui bossent sur ce sujet (dont un certain Terence Tao), n'y aurait pensé avant toi ?

[leg]

ha bon...?

Encore plus récemment, en juin 2013, Yitang Zhang a étonné le monde entier par son résultat sur l'existence d'une constante (70000000) sur l'écart entre deux nombres premiers consécutifs. Depuis, le projet Polymath8a a collectivement réduit la valeur de cette constante à 4680. Les travaux de James Maynard de novembre 2013 ont permis le projet Polymath8b de la réduire à 246!

On ne parle pas d'intervalle borné mais d'une constante sur l'écart entre deux nombres premiers consécutifs une infinité de fois... mais que pour l'instant la méthode utilisait (comme un peigne) ne permet pas de l'utiliser pour réduire cet écart à 2...

Mais ceci dit si un intervalle de 246 entre deux nombres premiers consécutifs se répète une infinité de fois, cela veut bien dire qu'il y a une infinité de couples premiers p +246 = q non ??? ou alors c'est quoi un intervalle entre deux nombre si ce n'est pas l'écart qui les sépare...?

De plus ce n'est pas ce que j'ai dis , mais que j'ai sous entendu entre les couples ayant un écart de 246 qui a été montré ; leur densité est équivalente par famille de nombres premiers avec les nombres premiers ayant un écart de 2 , par tranche de 100 nombre premiers consécutifs...c'est pour cette raison que j'ai mis 3 documents afin que chacun s'en fasse une idée.

De plus je n'ai pas démontré et personne non plus, que cette densité est toujours vrai lorsque N tend vers l'infini, d'autant que cette densité est oscillatoire.... mais c'est une conjecture .... Je ne suis pas présomptueux et si tel et ton cas, évite de juger...

[jall2]

bonjour

Pourquoi avoir changé P3 = (P1+P2)/2 en P3 = 2.P2-P1 ?