Interpolation quadrilinéaire (X,Y,Z,E)

[ElPierre]

Bonjour,

Voilà j'ai une carte discrète avec 3 dimensions d'espaces et 1 dimension en énergie (donc 4 dimensions au total), un point discret dans cette carte 4D correspond pour moi à une probabilité et j'aimerais interpoler cette carte pour avoir les probabilités en tous points.

J'ai vu que pour des approximations trilinéaires, on avait cette approximation :


Premièrement d'ou vient cette formule ? (La forme factorisée ?) Pourquoi a t'on 8 constantes ? Est-ce qu'en dim4 on aura 16 constantes ?
Je suis presque sûr d'avoir déjà fait ce genre de chose en école mais ma mémoire file ... ^^'

D'avance merci et partir de là je pense pouvoir adapter à mon domaine 4D et faire une inversion de matrice pour résoudre mon problème !
Pierre
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[ElPierre]

Par f(x) j'entendais plutôt f(x,y,z).
Ma piste au début pour retrouver une formule semblable était de faire un DL à l'ordre 1.

[jacknicklaus]

Bonjour,

c'est simplement la formule du binôme de Newton :
nombre de façons de choisir 0 dimensions parmi n (= la constante)
+nombre de façons de choisir 1 dimensions parmi n (= n)
+nombre de façons de choisir 2 dimensions parmi n (= n(n+1)/2 )
+ etc...
+nombre de façons de choisir n dimensions parmi n (= 1)

= 2ⁿ

[MissJenny]

j'essaie de comprendre: tu as une fonction réelle de 4 variables réelles : quelque-chose = f(x,y,z,e) ?
ou bien une fonction réelle de 3 variables réelles (energie = f(x,y,z))

[A voir en vidéo sur Futura]

[ElPierre]

Jacknicklaus pour le 2^n et l'analogie avec le dénombrement je vois, merci, mais la formule d'approximation mentionnée plus haut ne me semble pas être l'application du binôme de Newton, je n'ai pas de binôme et je n'ai pas de variable élevée à une puissance (c'est peut être pas clair mais je ne vois pas ou Newton intervient ^^).

MissJenny, désolé j'ai mélangé mes pinceaux mais c'est bien votre première intuition : f(x,y,z,e) = qqc , avec qqn un réel compris entre 0 et 1.
Je n'ai que des points discret de cette fonction et j'aimerais l'interpoler pour tout couvrir.

En fait je n'ai trouvé aucun article sur l'interpolation quadrilinéaire, j'ai juste trouvé sur Wiki (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_interpolation) des explications sur l'interpolation trilinéaire, je comptais comprendre comment obtenir la formule écrite sur cette page et reproduire la même chose en augmentant d'une dimension.

[MissJenny]

je pense que l'interpolation par splines fonctionne dans toutes les dimensions. Idem pour les ondelettes.

[jacknicklaus]

1 terme en constante, 3 termes avec une seule variable (x,y,z), 3 termes avec 2 variables (xy,yz,xz), 1 terme avec 3 variables.
1+3+3+1 sont les coefficients du binôme (1+1)^n = 2^3

Si ta question est "comment ca se généralise en 4 variables?", alors je propose :


1+4+6+4+1 = 2^4

[gg0]

Bonjour.

Depuis le début, il ne s'agit aucunement d'interpolation, mais de modèle multilinéaire. L'interpolation correspondrait plutôt ici, pour un point (x,y,z,e) situé dans un hypercube (*) de sommets (a,b,c,d), (a,b,c,d'),(a,b,c',d),(a, b,c',d'), ...(a',b',c',d') de calculer f(x,y,z,e) à partir de f(a,b,c,d), f(a,b,c,d'),f(a,b,c',d),f(a, b,c',d'), ...f(a',b',c',d'). Ce qui est loin d'être évident : Déjà, avec deux dimensions, l'interpolation linéaire bloque, car par 4 points de l'espace on ne fait pas passer un plan. Mais on peut choisir de modéliser comme le fait Jacknicklaus, et de déterminer les 16 coefficients à partir de 16 sommets de l'hypercube. J'imagine d'ailleurs que c'est ce qui est proposé pour l'interpolation trilinéaire.

Cordialement.

(*) J'ai parlé de cube en pensant les données régulièrement réparties

[MissJenny]

en général on n'a pas des données situées aux sommets d'un hypercube. Les méthodes classiques d'interpolation ne le supposent d'ailleurs pas.

[polo974]

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En fait je n'ai trouvé aucun article sur l'interpolation quadrilinéaire, j'ai juste trouvé sur Wiki (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_interpolation) des explications sur l'interpolation trilinéaire, je comptais comprendre comment obtenir la formule écrite sur cette page et reproduire la même chose en augmentant d'une dimension.

en fin du wiki, il y a le lien http://paulbourke.net/miscellaneous/interpolation/
descendre au chapitre Trilinear Interpolation

en gros, on suppose le cube (ou l'hypercube) normalisé.

la valeur de chaque point est pondéré par le (hyper)volume situé à l'opposé.
version 4D:

Vxyze =
      V0000 (1-x) (1-y) (1-z) (1-e) +
      V0001 (1-x) (1-y) (1-z) e +
      V0010 (1-x) (1-y) z (1-e) +
      V0011 (1-x) (1-y) z e +
      V0100 (1-x) y (1-z) (1-e) +
      V0101 (1-x) y (1-z) e +
      V0110 (1-x) y z (1-e) +
      V0111 (1-x) y z e +
      V1000 x (1-y) (1-z) (1-e) +
      V1001 x (1-y) (1-z) e +
      V1010 x (1-y) z (1-e) +
      V1011 x (1-y) z e +
      V1100 x y (1-z) (1-e) +
      V1101 x y (1-z) e +
      V1110 x y z (1-e) +
      V1111 x y z e