Domaine de validité de tan(5x)

[DarkLama]

Bonjour, j'ai récemment eu des difficultés face à un exercice où l'on me demandait de calculer tan(5x) en fonction de tan(x) et de décrire son domaine de validité avec des cosinus.

Pour cela on nous fait faire un enchainement de question consistant d'abord à calculer tan(2x), puis tan(4x) et enfin tan(5x) à chaque fois en fonction de tan(x) et tout en décrivant son domaine de validité. Je trouve donc :

Pour tout x appartenant à R, si cos(x)*cos(2x)≠ 0 alors :
tan(2x)=(2tan(x))/(1-tan(x)^2)

Pour tout x appartenant à R, si cos(x)*cos(2x)cos(4x)≠ 0 alors :
tan(4x)=(2tan(2x))/(1-tan(2x)^2)
=(4tan(x)-4tan(x)^3)/(1-6tan(x)^2+tan(x)^4)

Pour tout x appartenant à R, si cos(x)*cos(2x)cos(4x)cos(5x)≠ 0 alors :
tan(5x)=(tan(x)+tan(4x))/(1-tan(x)tan(5x))
=(5tan(x)-10tan(x)^2+5tan(x)^4)/(1-6tan(x)^2+tan(x)^4)

Enfin vient la question me posant tant de soucis qui est de montrer que la dernière formule reste toujours valable pour pi/4 +k*pi/2 (k étant un réel relatif). J'ai donc déduis que l'on devait démontrer cos(x)*cos(2x)cos(4x)cos(5x)≠ 0 pour pi/4 +k*pi/2 cependant je tombe sur un os lorsque j'essaie de prouve que pour x=pi/4 +k*pi/2 cos(2x)≠ 0. Si quelqu'un pourrait m'indiquer une potentiel erreur où une chose que j'aurai oubliée cela pourrait m'aider à avance. Merci
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[gg0]

Bonsoir.

La démonstration suppose que x est différent de pi/4, mais simplement parce qu'on a utilisé tan(2x) dans la démonstration. On aurait pu faire d'autres preuve, qui n'utiliseraient pas tan(2x). On te demande tout bonnement de vérifier que si tu prends x=pi/4, la formule que tu as trouvé "marche" encore.

Cordialement.

[DarkLama]

Bonsoir,

D'abord merci pour la réponse. Je n'ai pas très bien compris se que voulait dire "Vérifier par pi/4" étant donné que ce que l'on nous demande est de montrer que la formule est valable pour pi/4+k*pi/2, c'est donc ce que j'ai essayé mais cos(2*(pi/4+k*pi/2))=cos(pi/2+k*pi)=0 donc cela ne respecte par l'hypothèse que cos(2x) différent de 0.

[gg0]

On s'en fout ! Il n'y a pas de cos(2x) dans la formule que tu as obtenu.
Tu n'as pas pris le temps de comprendre ce que j'ai écrit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarkLama]

Bonjour,

J'ai donc repris en essayant cette fois de vérifier si tan(5(pi/4+k*pi/2)) était bien défini et si (5tan(x)-10tan(x)^2+5tan(x)^4)/(1-6tan(x)^2+tan(x)^4) l'était aussi pour cela j'ai vérifier leurs non nullité suivant la parité de k.

J'ai constaté que quelque soit la parité de k c'est deux fonctions sont bien définies, cependant je ne vois pas comment je peux écrire que tan(5(pi/4+k*pi/2))=(5tan(x)-10tan(x)^2+5tan(x)^4)/(1-6tan(x)^2+tan(x)^4) alors que pour arriver à ce résultat je ne peux (à mon niveau) que passer par tan (2x) et que pour exploiter l'égalité tan(2x)=2tan(x)/(1-tan(x)^2) je dois supposer que cos(x)cos(2x)≠ 0.

A cela je ne comprend pas comment on peut arriver à un résultat final qui serait en contradiction avec des hypothèses qui nous ont permis d'arriver à ce même résultat puisque la question qui suit est :"montrer que la formule tan(5x)=...... est valable si x est tel que cos(5x)≠ 0.

[gg0]

Tu ne veux pas comprendre la différence entre faire une démonstration dans des cas particuliers et vérifier une formule. On ne peut rien pour toi, dans ce cas. La formule est indépendante de sa démonstration.