Questions générales en mathématiques, niveau L1-L2.

[fred3142]

Bonjour,
J'ai fait un peu de mathématiques pendant mes études et souhaite les ré-étudier par plaisir, n'ayant pas eu l'occasion d'en faire durant de nombreuses années je suis assez rouillé.
Je reprends aux niveaux L1/L2 pour reposer des bases solides, mais être seul face à un livre est parfois frustrant : il suffit parfois d'une formulation légèrement différente ou d'un dessin pour comprendre quelque chose qui peut sinon rester obscur.
Je précise cela pour clarifier que ma démarche n'a rien de scolaire, je ne demande pas la réponse à un DM!
Ainsi j'ouvre ce sujet assez général dans lequel je souhaite poser mes questions, parfois très basiques. Plus qu'une explication exhaustive ou une démonstration détaillée ce que j'attends est plus la clé pour comprendre un raisonnement, une reformulation, une explication "avec les mains", bref tout ce que ne peut pas forcément m'apporter un livre.

Je commence :

Question 1 :
Dans l'espace E des fonctions C1 de [0;1] dans IR, je considère A l'espace des fonctions f telles que f(0)=f(1) et B l'espace des fonctions telles que f(0)=f(1)=0.
A est un hyperplan de E car noyau de la forme linéaire qui à une fonction f de E associe f(1)-f(0).
B n'est pas un hyperplan de E car les deux fonctions non nulles x |--> x et x|--> 1 sont dans un supplémentaire de B dans E (puisque ces deux fonctions ne vérifient pas la condition donnée), et tout tel supplémentaire serait de dimension 1 si B était un hyperplan.
Je pense que jusqu'ici j'ai bon (c'est ce que dit mon livre).
En revanche, les fonctions non nulles x|--> x et x|--> x² sont également dans un supplémentaire de A puisqu'elles ne vérifient pas la condition d'appartenance à A. A étant un hyperplan tout supplémentaire de cet hyperplan doit être de dimension 1.
Où est mon erreur de raisonnement?


En vous remerciant d'avance pour vos lumières.
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[Médiat]

Bonjour,

Je pense que vous faites une confusion entre supplémentaire et complémentaire

Dans votre deuxième cas je note la fonction et la fonction , la question n'est pas de savoir si est de la forme mais si est de la forme , où .

Du coup la démonstration du premier ca est insuffisante

[gg0]

Une autre façon de voir : f est dans un supplémentaire de A, g est dans un supplémentaire de A, mais il n'y a aucune raison que ce soit le même (Pour des espaces vectoriels réels, un hyperplan a une infinité de supplémentaires.

Cordialement.

[fred3142]

En effet, merci à vous deux pour la rectification, je comprends mon erreur.
En revanche, ce qui me trouble est qu'à la question "B est-il un hyperplan de E?" mon livre répond "Non car les deux fonctions et se trouvent dans un supplémentaire de B dans E. Or tout supplémentaire d'un hyperplan doit être de dimension 1.". Comment sait-on que ces deux fonctions se trouvent dans un même supplémentaire?
Médiat, quand vous dites "Du coup la démonstration du premier cas est insuffisante" c'est bien à cela que vous faites allusion?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Médiat, quand vous dites "Du coup la démonstration du premier cas est insuffisante" c'est bien à cela que vous faites allusion?

Oui, tout à fait.

Il est d'ailleurs très facile de montrer que l'on ne peut pas trouver et tels que

[fred3142]

Bonjour,
Très clair pour moi c'est parfait, merci.
Une autre question, plus difficile et plus ouverte cette fois :

Question 2 :
Avez-vous une interprétation géométrique de l'égalité suivante : ?
Je me souviens avoir un peu réfléchi à cette question pendant mes études ayant l'intuition qu'il existait une interprétation simple et élégante à cette égalité (comme un serpentin se rapprochant d'un arc de cercle ou quelque chose comme ça) mais sans jamais trouver.
Je ne cherche pas une démonstration (ça j'en ai plusieurs) mais plutôt un dessin (promis ma prochaine question sera moins artistique et plus mathématique ).

Merci.

[gg0]

Bonjour.

Même si ce n'est pas impossible, je ne crois pas à une image géométrique justifiant cette formule. Elle a été retrouvée par Leibnitz à partir de la fonction arctangente et de ses dérivées. Cependant, un document qui peut t'aider : formule de Leibnitz-Gregory.
L'apparition de pi en analyse est normale puisque c'est la première racine strictement positive de l'équation sin(x)=0.

Cordialement.

[stefjm]

Et apparemment, même un peu avant.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Madhava_de_Sangamagrama

[gg0]

Ce n'est pas pour rien que j'écrivais "retrouvée"

[mach3]

Question 2 :
Avez-vous une interprétation géométrique de l'égalité suivante : ?

Je n'en connais pas pour cette formule ci, mais ça me rappelle ces deux vidéos qui peut-être seront inspirantes :

https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls
https://www.youtube.com/watch?v=8GPy_UMV-08

m@ch3

[fred3142]

Merci pour ces informations, très intéressant et instructif.
Effectivement rien d’évident. Très intéressantes et très bien faites tes vidéos mach3, merci pour ce partage! Notamment celle de la série des inverses des carrés des entiers, c’est tout à fait ce que je cherchais pour ma série, j’imagine que c’est moins évident pour la mienne et qu’en cherchant très fort on doit pouvoir y coller une interprétation géométrique mais qui semblerait probablement plus tirée par les cheveux qu’autre chose.

Question 3 :
Je me pose la question suivante au sujet de la décomposition d’une permutation de l’ensemble des entiers entre 1 et n en produit de transpositions :
On sait que toute telle permutation est décomposable en un produit de n-(c+f) transpositions, c étant le nombre de cycles disjoints et f le nombre de points fixes de la permutation.
Pour cela on peut considérer la décomposition d’une telle permutation en un produit de cycles disjoints puis décomposer chaque cycle en un produit de transpositions (chaque cycle de longueur l est décomposable en l-1 transpositions).
a) Existe-t-il des décompositions plus courtes ?
b) Si non combien existe-t-il de telles décompositions (sans tenir compte de l’ordre des facteurs)?
J’aurais tendance à dire qu’il n’existe pas de décomposition plus courte, qu’il en existe d’autres mais sans pouvoir dire combien, mais ai du mal à produire une preuve.

[gg0]

a) "courtes" de quel point de vue ? En tout cas, on ne voit pas l'intérêt de faire d'autres transpositions.
b) Sauf erreur de ma part, c'est une question de dénombrement pas évidente. Cherche sur internet ...

NB : Ces questions sont loin d'être générales, ou basiques !!

[fred3142]

a) Courte dans le sens nombre minimum de permutations.
b) Effectivement après avoir un peu creusé ça ne semble pas évident.
Une reformulation plus concrète serait : étant donné un jeu de n cartes non trié, combien de "coups" me faudrait-il au minimum pour l'ordonner, y a-t-il plusieurs solutions pour arriver à mes fins et si oui combien (un coup étant défini comme un échange de 2 cartes). On comprend que la réponse dépend de n (cardinal de l'ensemble de départ) mais aussi de l'état initial des cartes (de la permutation : longueur des cycles, ...).

J'en profite pour poser ma quatrième question, plus légère, qui me vient d'une discussion de ce week-end :

Question 4 :
Jeu de yams : lancer simultané de 5 dés indiscernables, le but étant de faire des "figures" (carrés, brelan, yams, suites, ...).
Un ami me demande : quelle est la probabilité de faire un yams du premier coup (=5 dés identiques).
Je réponds : 6/6⁵
Mon ami me dit : "Dans ce raisonnement tu considères 6 cas favorables (yams de 1, yams 2, ..., yams de 6) et 6⁵ cas possibles car tu autorises les répétitions et prends en compte l'ordre des dés. Oui il y a des répétitions mais non l'ordre ne compte pas : faire un 1;2;3;4;5 ou un 1;3;4;5;2 revient au même, tu as donc moins de cas possibles que ça", ce à quoi je réponds "effectivement l'ordre ne compte pas in fine mais en termes de probabilités cela compte : alors qu'obtenir 5 fois le nombre 1 requiert que chaque dé ait la valeur 1 par exemple, obtenir une suite : 1;2;3;4;5 n'impose pas à chaque dé une valeur précise mais laisse plus de liberté. Par contre si tu veux dénombrer les issues possibles (le nombre de lancers de dés différents possibles) effectivement il n'aurait pas fallu considérer l'ordre" (le nombre de lancers différents étant donc le nombre de combinaisons avec répétitions de 5 éléments pris parmi 6 =252 ce qui est bien plus faible que 6⁵=7776).
Je n'ai pas de doute sur le résultat mais ai du mal à formaliser (et formuler) ma pensée pour lui expliquer cet apparent paradoxe : l'ordre des dés n'est pas pris en compte pour dénombrer le nombre de lancers possibles, mais l'ordre des dés doit être pris en compte pour calculer cette probabilité.

[gg0]

Bonjour.

En fait, ce n'est qu'une question d'univers des possibles. Comme celui utilisant les combinaisons donne des calculs pénibles (les combinaisons ne sont pas équiprobables !!), on va en utiliser un qui donne des événements élémentaires équiprobables. On peut facilement distinguer les dés (par exemple par des couleurs différentes) ce qui ne change pas la proba d'avoir un Yam's.
Donc si ta solution ne lui va pas, mets-le au défi de faire le calcul avec des combinaisons. Sans tricher en prétendant que les issues sont équiprobables (déjà avec 2 dés, le "2 fois 1" est moins probable que le "un et 2".

Cordialement.

[fred3142]

Bonjour et merci pour votre retour,
En effet, ce qui est important est de rester cohérent dans un univers choisi, merci c'est bien plus clair.

Je continue avec ma :

Question 5 :
est un espace vectoriel, ce qui peut se démontrer facilement à partir de la définition.
Cet espace est de dimension infinie, ce qui peut se voir en extrayant une famille libre infinie de cet espace (je pense aux par exemple, avec le i-ème nombre premier, ou aux puissances successives d'un nombre transcendant).
Toute base de cet espace est non-dénombrable, sinon serait dénombrable ( l'étant). Là ça se complique et ça commence à être dur de s'imaginer une telle base.
La façon dont je vois les choses est qu'une telle base devrait contenir un rationnel, toutes les racines carrées de nombres rationnels mais aussi toutes leurs racines cubiques, quatrièmes, ..., les logarithmes de nombres premiers, les puissances de pi, de e, etc. En cherchant un peu sur internet j'ai vu que la question avait déjà fait couler beaucoup d'encre mais ai vite été bloqué par des considérations trop théoriques. Ce que je cherche est : à quoi pourrait ressembler une telle base? saurait-on en décrire une?de manière générale comment se représenter une base d'espace vectoriel infinie non-dénombrable versus une base d'espace vectoriel infinie dénombrable?

[gg0]

Bonsoir.

En fait, on est incapable de dire comment est faite une telle base. La notion d'indépendance algébrique (indépendance linéaire dans l'espace vectoriel dont tu parles) est déjà très compliquée.
Il existe des bases infinies qu'on sait expliciter (par exemple {X^n/ n entier naturel) pour les polynômes réels), mais il est très fréquent qu'elles soient "trop grosses" pour être données, comme dans ce cas. D'où l'intérêt des bases euclidienne ou hermitiennes des espaces fonctionnels.

Autre chose : Le fait que R ait une base est une conséquence de l'axiome du choix. Même s'il est considéré comme basique par la plupart des mathématiciens (je vais me faire eng.. par Médiat !), c'est un vrai choix de l'accepter ou non.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Même s'il est considéré comme basique par la plupart des mathématiciens (je vais me faire eng.. par Médiat !), c'est un vrai choix de l'accepter ou non.

Effectivement, je devrais, pas pour "basique par la plupart des mathématiciens", mais pour " l'accepter ou non"

[gg0]

Effectivement, "l'accepter" n'est pas le bon mot; "l'utiliser" irait mieux, mais là encore, ce n'est pas ce qui se passe, la plupart des mathématiciens ne se posant jamais ce choix et travaillant avec des mathématiques fondées sur l'axiome du choix. Par exemple en utilisant le théorème "tout espace vectoriel admet une base".

Cordialement.

[Médiat]

C'est effectivement une recherche intéressante que de débusquer l'usage involontaire de AC dans les mathématiques (hors logique où c'est impératif)

[fred3142]

Bonjour et merci pour vos réponses.
Effectivement je suppose l'axiome du choix valide, ce qui implique l'existence d'une telle base, merci pour la remarque.

D'où l'intérêt des bases euclidienne ou hermitiennes des espaces fonctionnels.

Pas sûr de comprendre le sens de cette remarque par contre, peux-tu préciser?

Je continue avec ma question suivante :

Question 6 :
J'essaye de récapituler ce que je sais sur le développement décimal (ou plus généralement en base b>1) d'un rationnel.
Un réel est rationnel équivaut à dire que son développement décimal (plus généralement en base b) est périodique à partir d'un certain rang. Si p/q est l'écriture irréductible d'un rationnel alors la périodicité commence au maximum à partir de la q-1 ième décimale et la période est de longueur inférieure ou égale à q-1. La longueur de la période est plus généralement l'ordre multiplicatif de 10 (plus généralement b) modulo q', où q' est un entier tel que q=q'k avec q' premier avec b (dans le cas décimal c'est à dire que q' est q duquel on a "retiré" les 2 et les 5 de la décomposition en facteurs premiers). Si q=q' (c'est à dire q et b sont premiers entre eux) et p premier avec b, la périodicité commence juste après la virgule, et multiplier le rationnel par un entier premier avec b donne un nouveau développement décimal obtenu par permutation circulaire de la période (voir par exemple les développements décimaux de 1/7 ou des inverses des nombres premiers longs).
Un autre fait que je sais vrai mais dont je ne retrouve plus la preuve est que pour certains développements périodiques (dénominateurs premiers et strictement supérieurs à 5) il ne suffit en fait de calculer la moitié de la période, l'autre moitié s'en déduisant par différence avec 9, par exemple 1/7=0.142(857)..., 1/11=0.0(9)..., 1/13=0.076(923)... les chiffres entre parenthèses s'obtenant en soustrayant les premiers chiffres de 9.
Je me demande s'il y a d'autres propriétés remarquables et assez générales de ces développements. L'article Wikipedia sur les développements décimaux périodiques est bien fait (quoi qu'il ne mentionne pas le dernier résultat que je viens de citer) mais je me demandes s'il y a d'autres choses à dire sur ces développements. Je recherche également des astuces d'ordre pratique pour les calculs de tête (le dernier résultat étant un très bon exemple puisqu'il divise le travail à effectuer par deux quand on connaît la longueur de la période).
Au passage j'ai des astuces pour calculer des décimales de fractions avec des dénominateurs allant jusqu'à 36 avec un minimum de "par coeur", si vous avez de belles astuces à partager n'hésitez pas (en pratique c'est très facile avec dénominateur en dessous de 20 sauf peut-être 17 qui est un peu plus compliqué, plus difficile au-dessus de 20 car plus de calcul mais tout est question d’entraînement).

[gg0]

Bonsoir.

Q5 : les bases euclidiennes orthonormales ne sont pas des bases au sens habituel, les éléments de l'espace euclidien ne sont généralement pas une combinaison linéaire des éléments de la base. Mais ils sont tous la somme d'une série convergente de multiples de la base (donc une "combinaison linéaire infinie" - je mets des guillemets parce que le mot "combinaison linéaire" veut dire somme finie). Et cela évite bien d'avoir à chercher une base algébrique dans des tas d'espaces de suites ou de fonctions.

Cordialement.

[GBZM]

Bonsoir,
"Euclidien" sous-entend habituellement "de dimension finie". Les bases euclidiennes orthonormales sont bien des bases au sens habituel. Gérard, tu voulais sans doute parler de bases hilbertiennes.

[gg0]

Merci GBZM de rectifier mon erreur de dénomination ! Il s'agit bien de bases hilbertiennes.

Cordialement.

[fred3142]

Bonjour et merci pour la précision au sujet de la question 5 en effet c'est bien plus clair maintenant.

[fred3142]

Bonjour,
Avez-vous des éléments de réponses au sujet de la question 6 ci-dessus?
J'ai conscience que c'est une question ouverte et peu évidente mais je trouve ce sujet des développements particulièrement intéressant.
Bonne journée.