Théorème de Rolle ou accroissements finis

[Marmus1021]

Bonsoir !
Voici un exercice que je cherche depuis quelques temps mais je n’arrive pas à poser une bonne fonction auxiliaire pour lui appliquer Rolle.

Soit f dérivable sur [a,b] telle que f(a)=f(b) et f’(a)=0.
Montrer qu’il existe c dans ]a,b[ tel que f’(c) = (f(c) - f(a)) / (c-a)

Sinon autre idée ce serait de passer par un taux d’accroissement directement, mais je n’aboutis pas.

Je veux bien un peu d´aide svp
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[gg0]

Bonjour.

Tu peux appliquer Rolle à g(x)= (a-x)(f(x)-f(a))=(a-x)(f(x)-f(b)).

D'où m'est venue l'idée : La relation à obtenir s'écrit (c-a)f'(c) = ... et j'ai pensé à l'obtenir par dérivation de (x-a)f(x); il y avait un problème de signe, réglé en remplaçant (x-a) par (a-x) dont la dérivée est -1.

Cordialement.

[Marmus1021]

Bonsoir. Je crois, sauf erreur de calcul de ma part, que remplacer (x-a) par (a-x) ne permet pas de se débarrasser du problème de signe... Cela modifie aussi le signe des autres termes de la dérivée.
Et puis on n’utilise jamais l’hypothese f’(a)=0 ?
Cordialement

[gg0]

Oui, tu as tout à fait raison.

[A voir en vidéo sur Futura]