Etude de fonction

[Dzyhoss]

Bonjour,

Je suis coincé sur une exercice qui concerne la continuité et la dérivabilité d'une fonction. J'ai tenté certaines choses que vous pourrez trouver dans mes pièces jointes mais je pense avoir tout faux...
Pourrais-je avoir votre pour cet exo ?
Merci d'avance !

exo.jpg
test.jpg
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[jacknicklaus]

le 1) : ok, mais pourquoi diable étudier 2 cas 0+ et 0- ??


le 2), que vient faire la notation f' dans un exercice où on te demande la continuité en 1 ? Pourquoi ne pars tu pas de la définition en regardant comment se comporte | f(x) - f(1) | au voisinage de 1 ?
refais le calcul proprement, tu as une erreur dans le cas x tendant vers (1-) (que vaut |x-1| ? )

[Dzyhoss]

D'abord merci pour ta réponse !

Pour la 1 j'ai refait comme dans mon cours même si je trouvais ça bête de refaire le calcul 2 fois. Si je comprends bien, en trouvant une valeur finie ça confirme le fait qu'elle soit continue en 0 ?
Pour la 2, je me suis emmêlé les pinceaux entre dérivabilité et continuité... Je n'ai pas trop compris comment étudier f(x)-f(1) ?
Dans cette question, |x-1| pour x se rapprochant de 1 en valeur inférieur vaudrait 0 non ??

Merci !

[jacknicklaus]

Si je comprends bien, en trouvant une valeur finie ça confirme le fait qu'elle soit continue en 0 ?

Non, elle est continue en 0 car elle tends vers f(0) quand x tends vers 0. C'est évident dans la mesure où pour x < 1 (ce qui est le cas pour des x au voisinage de 0), f(x) = -|x| qui tends trivialement vers 0 = f(0)

Je n'ai pas trop compris comment étudier f(x)-f(1)

Ben tu poses f(x) - f(1) = f(x) - 1 (par définition de f) et tu regardes ce qui se passe avec les valeurs absolues de f dans les cas x <1 et x > 1, pour des x au voisinage de 1, mais différents de 1.
à toi de faire..

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dzyhoss]

Donc si je comprends bien, elle est continue en 0 car pour la valeur de x qui tend vers une valeur n on obtient f(n) ?
J’ai tenté quelque chose mais je pense mas que ce soit bon… 0-0=0-1 c’est faux donc quelque cloche ?

[jacknicklaus]

Non !
f(1) = 1 par définition de la fonction f (tu as lu l'énoncé ?)

dire que f(1) = |1|.|1-1|/(1-1) est une horreur sans nom.


Tu dois simplement prouver (ou pas!) que f(x) tends vers f(1) = 1 quand x tends vers 1, en séparant les deux cas x vers 1- et x vers 1+, ce ci à cause des valeurs absolues présentes dans f.
si les 2 limites sont 1 = f(1) c'est continu. Sinon ca ne l'est pas .

[jacknicklaus]

Donc si je comprends bien, elle est continue en 0 car pour la valeur de x qui tend vers une valeur n on obtient f(n) ?

Quel gloubi-boulga !

Relis la définition de la continuité que tu as vue en cours

[Dzyhoss]

Bonjour, j'étais un peu perdu hier soir...
J'ai refait la question mais quelque chose me dérange, en remplaçant x par des valeurs de 1- ou 1+, je tombe sur quelque chose de la forme 0/0 ce qui correspond à une forme Indéterminée non ? Donc je pense qu'il faut que je me débrouille pour lever cette FI ?
Merci

[Dzyhoss]

Pour la définition, j'ai ça: "Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon"."
Dans le cours on cherche les limites en + et en - et si elles sont égales on conclut qu'elle est bien continue. Or en remplaçant x par 1 j'ai une FI. Que faire ?

Merci.

[gg0]

Bonjour Dzyhoss.

Tu ne lis pas beaucoup ce que te dit Jacknicklaus; ni l'énoncé d'ailleurs !
En remplaçant x par 1 tu n'as pas une forme indéterminée, puisque l'énoncé dit que f(1)=1. mais manifestement tu ne l'as pas lu !
C'est la même chose quand tu écris "car pour la valeur de x qui tend vers une valeur n on obtient f(n)". Ça n'a rien à voir avec l'énoncé ou même ce qui précède. Tu écris, mais tu ne penses pas. Stop !
Essaye de devenir raisonnable. Tu veux étudier les limites à droite et à gauche (mais on peut se contenter de la limite en 1). Tu dis " j'ai une FI". Ben oui ! C'est quasiment toujours le cas quand on a à calculer une limite. C'est ton travail de déterminer la forme indéterminée. Tu as appris à le faire dans ton cours sur les calculs de limites. Au travail (pour x<1, changer la forme de f(x) en remplaçant la valeur absolue par sa valeur, puis calculer la limite et vérifier que c'est bien f(1); idem pour x>1) !

Cordialement.

[Dzyhoss]

Bonjour,

Si je comprends bien: "Tu veux étudier les limites à droite et à gauche (mais on peut se contenter de la limite en 1)", On cherche la limite de x qui tend vers 1 or on sait que f(1)=1. Donc j'en conclut que la limite de x vers 1= limite f(1)=1 ?
Je suis désolé si je dis des bêtises mais je ne suis pas vraiment à l'aise avec cet exercice.
Merci !

[jacknicklaus]

Je suis désolé si je dis des bêtises mais je ne suis pas vraiment à l'aise avec cet exercice.

Je suis navré de te le confirmer...

Je vais essayer de détailler. Prenons la vraie définition : une fonction f définie sur un intervalle I est continue en a (faisant partie de I) ssi limite f(x) = f(a) quand x->a.
Ici tu as a = 1 et une fonction f(x) définie sur R. On étudie la continuité en 1. Il te faut donc 2 ingrédients, donnés par la définition :
1) la valeur de f(1). Ceci est donné dans la définition de f. Ce n'est donc ni une indéterminée, ni l'horreur de ton message #. C'est f(1) = 1 par définition de ta fonction f !
2) l'expression de f(x) au voisinage de 1, puisque tu dois étudier la limite en 1. Tu en as une définition explicite dans l'énoncé, avec :
2.1) une expression bien définie pour f(x) avec x différent de 1,
2.2) une valeur explicite de f(1).

Tu dois étudier comment se comporte la limite de f(x) quand x tends vers 1. Comme tu as des valeurs absolues qui font intervenir (x-1), tu dois séparer ton étude en 2 parties afin d'avoir une expression utilisable plus facile à manipuler. donc :
3.1) si x tends vers 1+, comment peux tu réécrire, puis simplifier l'expression de f(x) ? COnclusion pour la limite en 1+ ?
3.2) si x tends vers 1-, comment peux tu réécrire, puis simplifier l'expression de f(x) ? COnclusion pour la limite en 1-?
Les deux limites sont elles non seulement égales, mais surtout égales à f(1) = 1 ? Conclusion sur la continuité en 1 ?

[Dzyhoss]

Merci pour ton développement.

J'ai un peu mieux compris du coup. J'obtiens ce qu'il y a dans la pièce jointe, on obtient 2 foix 1= f(1) donc continue en 1. C'est bien ça ??
Merci

[jacknicklaus]

soit x = 0.999 qui est < 1
donc x-1 = -0.001

donc |x|.|x - 1|/(x-1) = 0.999 x 0.001 / -0.001 = -0.999

Et toi tu dis que ca devrait tendre vers +1.

Bizarre non ?

[gg0]

Suite au message #13. (on a répondu en même temps)

Écrit comme ça c'est faux ! Tant qu'il y a des x dedans, il doit y avoir lim devant : Tu ne calcules pas encore la limite, tu transformes l'expression de f(x). Et quand tu passes à la limite, en remplaçant x par 1, il n'y a plus de x, seulement la valeur de la limite.
Et ton calcul est faux.

Tu es vraiment dans le supérieur, ou seulement au lycée ?

Cordialement.

[Dzyhoss]

Bonjour,
Après avoir repris la question avec mon prof de maths, j’ai pu tomber sur ce qu’il y a dans la pièce jointe. Qu’est-ce que vous en pensez ?
Merci !

[Dzyhoss]

C'est vrai que ça ne concordait pas...

[jacknicklaus]

Qu’est-ce que vous en pensez ?

rédaction correcte, démo correcte.

En net progrès !

[Dzyhoss]

Merci merci, on fait comme en peut
Pour les questions 3 et 4 j'ai tenté des choses mais je pense que pour la 4 (savoir si elle est dérivable en 1) j'ai fait une petite erreur... Parce qu'en la traçant sur calculatrice elle ne semble pas dérivable en 1.
Tu en penses quoi ??
Merci !

test 1.jpg
test 2.jpg

[gg0]

OK pour la dérivée en 0.
En 1 tu as perdu ton temps : Si une fonction est dérivable en a, elle est continue en a. Or ta fonction n'est pas continue en 1.
Et pour tes calculs, tu manques sérieusement de l'excellente habitude de simplifier et tu écris un peu n'importe quoi !! Il n'y a pas de limite 0.
C'est quand même assez idiot d'avoir une fraction avec un facteur (x-1) en haut et x-1 au dénominateur et de ne pas simplifier immédiatement !! C'est au collège qu'on apprend qu'il faut simplifier les fractions, pour avoir des calculs moins pénibles. Résultat, au lieu d'avoir un calcul évident, tu fais une transformation par imitation (fausse) au lieu d'appliquer les règles de calcul sur les fractions : addition par réduction au même dénominateur. Et en plus, tu développe le carré, ce qui ne sert à rien et cache le facteur (x-1).
Que d'erreurs en si peu de temps !!!

Je reprends ton calcul (ce n'est pas que ce soit utile, mais ça montre la bonne technique de calcul avec les fractions :

C'est un calcul idiot car il y a une fraction qui se simplifie dès le début, mais j'ai appliqué les règles de calcul sur les fractions, celles que tu as vu à 13 ans.

Cordialement.

NB : "on fait comme en peut" n'a aucun sens ! on dit généralement "on fait comme on peut" ou "je fais comme je peux". C'est celui qui peux qui fait !!

[Dzyhoss]

Merci pour ta réponse mais je te trouves assez agressif...
J'ai sûrement fait quelques erreurs de calcul (c'est pour ça d'ailleurs que je demande de l'aide sur ce forum) J'essayerai d'y penser la prochaine fois.

NB: "on fait comme en peut" n'a aucun sens ! on dit généralement "on fait comme on peut" ou "je fais comme je peux". C'est celui qui peux qui fait !!"
C'est seulement une faute de frappe je voulais écrire "On fait comme on peut"...

Merci pour votre aide en tout cas !

[gg0]

Je suis "assez agressif" parce que je suis très surpris de tes maladresses de calcul et que je veux t'inciter à y penser toujours : En calcul de fonctions comme ailleurs, la manipulation des fractions se fait avec les règles que tu as apprises en quatrième et troisième. Toute autre action est une erreur de calcul. Et un calcul faux ne sert à rien (*). Donc il faut calculer sans faire de faute (sauf de frappe, et encore) et c'est parfaitement possible (comment crois-tu qu'on fait pour te répondre ?). Il suffit d'appliquer strictement les règles de calcul.
Pour l'orthographe, j'ai été un peu strict, mais c'est une faute courante (pas de distinction entre en et on), je voulais te rendre service.

Cordialement.

(*) on dit souvent "il faut apprendre de ses erreurs", mais on ne fait rien de bon en maths avec l'erreur "écrire sans appliquer les règles".

[Dzyhoss]

Merci pour ta réponse !