Etude d'une fonction

[mau13]

Bonsoir.
J’espère que vous pourrez me venir en aide,

Voici le probleme.



Avec:a₃>a₂>a₁

Je dois déterminer les valeurs de X et T qui donnant un résultat de f optimal (maximum).
Par rapport à X à priori il suffit d’étudier la fonction suivante (en éliminant la variable T):



Par contre par rapport à T je ne vois pas comment faire l’étude !!
(Le X gène)?


Ensuite je souhaiterais savoir comment serait il possible de trouver si
la fonction suivante:

pourrez donner (ou non) une valeur optimale (pour un X et T déterminer) "supérieur" à celle trouvé précédemment(f).
Il n’y aurait pas une astuce ? car le fait d’intégrer puis d’étudier cette nouvelle fonction risque d’être contraignant.

J’espère que le texte est assez clair.

Merci bien.
-----

[invitec1ddcf27]

Salut,

La fonction F(=f ?) est bien celle-ci ? Parce que dans la formule que tu as annoncée le e^(-1/T) se simplifie et disparait...

[mau13]

Salut,

La fonction F(=f ?) est bien celle-ci ? Parce que dans la formule que tu as annoncée le e^(-1/T) se simplifie et disparait...

Je l’ai simplifié pour étudier la fonction F par rapport à X : mais c’était une erreur.

Alors,comment faire ?

[ericcc]

Ce que te dit xav75, c'est que dans l'expression de F (ou de f, quelle est la difféence ?) le e^(-1/T) se simplifie de toutes façons. Tu as probablement fait une erreur de recopie

[A voir en vidéo sur Futura]

[mau13]

Ce que te dit xav75, c'est que dans l'expression de F (ou de f, quelle est la difféence ?) le e^(-1/T) se simplifie de toutes façons. Tu as probablement fait une erreur de recopie

Je recommence : Voici la fonction telle qu’elle m’est donné


Avec:

a'₃>>>a'₂>>>a'₁
E₃>E₂>E₁

Moi aussi je serais tenté d’éliminer le terme en T, et conclure que la fonction est indépendante de cette variable.

Mais dans le corrigé d’un autre exercice ,ou il est demandé de trouver le résultat optimal de F en fonction de T,voici ce qui a été fait :






avec:E₁>E₂

Ils ont en conclue que F serait optimal quand en augmentant 'T'.

Or,si nous avions simplifié le terme en T nous n'aurions pas pu arriver à ce resultat

Pourriez-vous m’éclaircir les idées !!

[ericcc]

Hmmm...tu ne peux appliquer la même méthode ici, car tu as deux variables. Cependant on peut, je pense, mener les calculs en fixant d'abord T puis en essayant de voir ce qui se passe. Pour simplifier les calculs, je pose

a(t)=a'1e^(-E1/T); b(t)=a'2e^(-E2/T) etc...

Ta fonction f(X) s'écrit b(t)X/(a(t)+b(t)X+c(t)X²); pour X=0 elle est nulle et pour X tendant vers l'infini elle tend vers 0+; il y a donc un maximum entre les deux.

On cherche son extremum en la dérivant :

f'(X)= a(t)b(t)-b(t)c(t)X²/D²(X) où D(X) est le dénominateur.

Le maximum est donc atteint pour X²=a(t)/c(t)

Il te reste à réinjecter cette valeur dans ta fonction, et à trouver le maximum suivant les valeurs de T

[mau13]

Hmmm...tu ne peux appliquer la même méthode ici, car tu as deux variables. Cependant on peut, je pense, mener les calculs en fixant d'abord T puis en essayant de voir ce qui se passe. Pour simplifier les calculs, je pose

a(t)=a'1e^(-E1/T); b(t)=a'2e^(-E2/T) etc...

Ta fonction f(X) s'écrit b(t)X/(a(t)+b(t)X+c(t)X²); pour X=0 elle est nulle et pour X tendant vers l'infini elle tend vers 0+; il y a donc un maximum entre les deux.

On cherche son extremum en la dérivant :

f'(X)= a(t)b(t)-b(t)c(t)X²/D²(X) où D(X) est le dénominateur.

Le maximum est donc atteint pour X²=a(t)/c(t)

Il te reste à réinjecter cette valeur dans ta fonction, et à trouver le maximum suivant les valeurs de T

Merci,je vais essayer cela, puis quand je trouve T je peux tirer la valeur de X.

Mais quel est le signification de ne pas pouvoir simplifier les termes en T bien que cela soit possible?


Mainetant je souhaiterais savoir comment serait il possible de trouver
l'optimum de cette fonction par rapport à X et T:




Merci par avance.

[ericcc]

Non la simplification par T n'est pas possible, les coefficients E1, E2 et E3 sont distincts !
Pour ta deuxième question les calculs me semblent assez ravageurs; mais quelques remarques :
-la variable sous l'intégrale est muette, il est plus simple de l'appeler u pour ne pas confondre avec la borne de ton intégrale.
-La dérivée par rapport à une borne d'une intégrale est la fonction que l'on intègre : Int (X0,X) f(u)du=F(X)-F(X0) où F est la primitive de f.
Donc (F(X)-F(X0))'=F'(X)=f(X)

[mau13]

-La dérivée par rapport à une borne d'une intégrale est la fonction que l'on intègre : Int (X0,X) f(u)du=F(X)-F(X0) où F est la primitive de f.
Donc (F(X)-F(X0))'=F'(X)=f(X)

Très bien, donc dela:


Je passe à cela:



Et j’étudie normalement cette dernière fonction.

Merci.

[ericcc]

Non la dérivée d'un quotient n'est pas ce que tu écris !!!!!

Je te rappelle (u/v)'=(u'v-uv')/v²

[mau13]

Non la dérivée d'un quotient n'est pas ce que tu écris !!!!!

Je te rappelle (u/v)'=(u'v-uv')/v²

Je me suis précipiter !
Le terme "u" ne disparaît donc pas de la derivée,

Comment faire alors pour le calcul de:



?

[mau13]

Bonsoir.

?