Forme trigonométrique d'exponentielles

[invite1c261b2c]

Bonjour tout le monde,

il m'a été demandé de mettre sous forme trigonométrique l'expression suivante : (exp^(ix)-1) / (exp^(ix)+1).
Présentant de nombreuses lacunes, je ne m'y retrouve pas du tout. Pourriez-vous m'aider?
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[gg0]

Bonjour.

"Présentant de nombreuses lacunes" : Alors à toi d'apprendre les règles du cours sur les complexes. Et aussi les règles sur les puissances : exp^(ix) ne veut rien dire. On a deux notations, exp(ix) et e^(ix) et on apprend en cours que exp(ix)=e^(ix). Mélanger les deux est une ânerie.
Une fois que tu auras appris toutes ces règles, tu pourra procéder ainsi :
* Multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur (règle qu'on voit dès qu'on rencontre les nombres complexes : comment écrire une fraction sous la forme a+ib). Avec les règles sur les conjugués et sur l'écriture exponentielle des complexes, tu verras que le conjugué de exp(ix) est exp(-ix).
* Remplacer les exponentielles complexes par leur expression trigonométrique et simplifier.
* Appliquer les méthodes qui permettent de trouver la forme trigonométrique d'un complexe à partir de la forme a+ib.
Voilà. Cet exercice est fait pour mettre en œuvre les règles du cours, pour te les faire apprendre en les utilisant. A toi de faire.

Bien entendu, quand tu auras commencé, si tu bloques à un moment, tu peux nous présenter ce que tu as fait, et nous dire ce qui te bloque (*), on t'aidera à avancer (**).

Cordialement.

(*) pas de "je ne comprends pas" qui ne permet pas de t'aider.
(**) Lire le règlement du forum : EXERCICES ET FORUM.

[invite1c261b2c]

Bonjour,

Merci de votre réponse! Je m’excuse de ne pas avoir respecté le règlement.

J’avais bien pensé à utiliser le conjugué mais celui de tout le dénominateur (e^(ix)+1). Je m’étais donc retrouvé avec cette expression (probablement fausse):
[cos2x+isin2x+1-2(cosx+isinx)]/(cos2x+isin2x-1)

J’ai de même essayé d’échanger les 1 avec e^(i0) qui n’a pas réellement aidé.

Je vais recommencer avec les étapes que vous m’avez exposé.

[gg0]

C'est bien le conjugué du dénominateur qu'on doit utiliser. C'est plus simple de conserver d'abord les exponentielles (donc directement multiplier haut et bas par (exp(-ix)+1), le conjugué du dénominateur), de développer, puis de remplacer les exponentielles complexes (*).

Bon travail !

(*) ou d'utiliser les formules d'Euler.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c261b2c]

Je suis finalement arrivée à l'expression suivante: isinx/(1+cosx)=itan(x/2)
Le résultat doit-il être sous la forme z=re^(ix) avec r=|z|=tan(x/2) et arg(z)=(π/2) ; soit z=tan(x/2)e^(ix+π/2) si je n'ai pas fait d'erreur ?

[gg0]

Il y a une petite erreur, classique : tan(x/2) n'est pas toujours positif, donc n'est pas toujours le module. Tu dois examiner les deux cas : tan(x/2)>0 et tan(x/2)<0, et le cas particulier tan(x/2)=0.
Il n'était pas nécessaire de passer à la tangente, on pouvait se débrouiller avec sin et cos.