Signification physique d'e l'ntegrale d'une fonction complexe sur un chemin

[PhilTheGap]

Bonjour
La question est dans le titre. L'intégrale d'une fonction à valeur dans R je vois, mais dans C j'ai du mal à me le représenter.

Cordialement
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[jacknicklaus]

Bonjour,
Pour prendre au pied de la lettre ta question tu peux toujours décomposer une intégrale complexe en partie réelle et partie imaginaire, et donc en intégrales réelles.

Mais ce serait faire peu de cas de l'intérêt de représenter un problème (mathématique ou physique) à l'aide d’outils reposant sur les complexes : à l'instar de nombreuses autres applications, l'extension d'un problème réel au domaine complexe permet l'usage d'un arsenal de techniques mathématiques bien plus fourni. Par exemple, passer de simples fonctions réelles à des fonctions holomorphes ou méromorphes. Ainsi, le calcul d'une intégrale réelle très compliquée se simplifie (parfois) en passant sur le plan complexe et en choisissant un chemin en forme de boucle fermée dont une partie seulement est le chemin réel qui nous intéresse.

[PhilTheGap]

Merci de ta réponse. Oui bien sûr pour les fonctions holomorphes et autres le calcul est porteur de bien des informations intéressantes. Mais au fond je ne vois pas ce qu'il représente. Si le vecteur fonction est orthogonal à l'élément de chemin, le morceau d'intégrale n'est pas nul, donc on ne peut pas vraiment rapporter ça à une intégrale sur une fonction réelle dans le plan.

[gg0]

Bonjour Philthegap.

Pourquoi voudrais-tu que ça représente quelque chose ? D'ailleurs cette idée de "qu'est-ce que ça représente" est un des grands facteurs de blocage en maths. Par exemple l'idée "une intégrale représente une surface" est nuisible dès qu'on veut utiliser des intégrales dans des contextes variés (*), où la seule chose qui compte est que c'est un nombre (avec éventuellement une unité en physique). C'est un nombre obtenu par une procédure appelée "intégrale", ou "intégrale de chemin", c'est tout.
Après, on apprend que certaines choses se calculent ainsi, que certaines notions physique se modélisent bien par une intégrale ou par une intégrale curviligne, et on a peu à peu "de l'expérience".

Cordialement.

(*) une quantité d'électicité, obtenue en intégrant l'intensité n'est pas une aire

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

il y a quand-même une raison pour laquelle on calcule l'intégrale d'une fonction de C dans C le long d'un chemin fermé, ça n'est pas juste parce qu'on peut le faire. D'ailleurs on ne calcule presque jamais l'intégrale d'une fonction de C dans C sur une partie de C homéomorphe à un disque (l'intérieur d'un contour fermé).

[PhilTheGap]

Et oui mais je suis plus physicien que matheu. Les analogies ca m'aide à comprendre.

[stefjm]

(*) une quantité d'électicité, obtenue en intégrant l'intensité n'est pas une aire

Bonjour
J'y vois sans trop d'imagination une aire en I.T.

[gg0]

A ce moment là, toute intégrale se voit comme une aire dans les variables convenables. Mais ça n'apporte rien à la compréhension. une aire en Ampère.seconde, ce n'est pas vraiment illustratif ! Il vaut mieux penser que le nombre est une quantité d'électricité en coulombs.
Et trop chercher des "significations" repousse le moment de l'habituation, où on comprend à quoi ça sert et comment on s'en sert.
Par contre, l'idée qu'une intégrale correspond à un cumul (généralisation d'une somme d'éléments identiques), comme une dérivée correspond à une mesure de vitesse de variation, sert parfois.

Cordialement.

[albanxiii]

Bonjour,

D'ailleurs cette idée de "qu'est-ce que ça représente" est un des grands facteurs de blocage en maths.

Petit hors-sujet : à mon sens, en physique aussi, on se perd beaucoup trop dans des "interprétations" qui souvent causent plus de mal que de bien.

[stefjm]

Je n'ai pas d'exemple en tête de cas d'interprétation nuisible.

dq=i.dt, donc une aire, par définition.
C'est éclairant (ou pas), mais nuisible?

[gg0]

Pourquoi une aire ??? C'est une quantité infinitésimale d'électricité. Pourquoi vouloir à tout prix lui donner une autre signification ???
Et tous les produits ne sont pas des aires. Dans la formule de cinématique d=v.t, on n'interprète pas d comme une aire .

Cordialement.

[stefjm]

Parce que c'est une abstraction parlante, éclairante?
Dans l'exemple de cinématique, d est bien une accumulation de v.dt, qui s’interprète aussi comme une une aire V.T.
C'est effectivement un peu casse gueule, mais pas tant que cela...

Partant de la cause a, dimension A,
on obtient la vitesse, dimension V, par intégration V=A.T
et la position x, dimension X, par intégration encore X=A.T^2

Un chtit volume dont la forme dépend des X0, V0 et A.
Cela donne plus d'information que simplement la position finale x. On a l'historique.

[PhilTheGap]

Petite correction: je n'ai pas parlé d'interprétation mais de signification, ce qui ne doit laisser en théorie aucun flou. La signification de la circulation d'un vecteur sur une courbe, c'est clair et net, à mon sens.

[gg0]

Ah, désolé !

Mais alors, il n'y a pas de réponse à ta question : les objets mathématiques sont des abstractions (*), ils n'ont pas de signification, seulement des usages. Dès qu'on commence à compter, on sait utiliser 3 (trois), sans lui accorder plus de signification que son usage (comptage, calcul, ...).
L'exemple que tu donnes, une notion physique qu'on mathématise justement à l'aide d'une intégration, est hors mathématiques.
Mais, si tu préfères, l'intégrale complexe n'est que la généralisation aux complexes de l'intégrale réelle.

Cordialement.

(*) souvent des abstractions d'abstractions d'abstractions ... et le support concret est loin. 3 est abstrait de toutes les situations de comptage où on est tombé sur 1,2,3, la notion de nombre entier est abstraite de toutes les situations de comptage, etc.

[herrmattoon]

Salut,

À mon avis, la question que tu poses devrait plutôt trouver sa réponse dans les outils d'algèbre linéaire, étendus aux espaces de Hilbert, à une infinité de dimensions.

Si tu sais visualiser un produit scalaire entre deux vecteurs, tu peux imaginer l'étendre à des vecteurs de dimensions infinies. C'est ce qui se fait pour projeter une fonction sur une autre base. Comme un signal temporel sur une base de fonctions exponentielles/trigonometriques (Fourier, Laplace,...). Quand le nombre de dimensions est infini, le produit scalaire se transforme en intégrale, et là à mon avis, c'est inutile de vouloir le visualiser comme une aire.

Si je ne me trompe pas, l'intégrale sur un chemin fermé dans C est p.ex. utilisé pour passer de la transformée en Z au domaine des valeurs échantillonnées.

[stefjm]

J'ai toujours un peu de mal avec l’abstraction totale des mathématiciens où il ne reste que les définitions.
Comme physicien, j'essaie toujours de me raccrocher à des exemples un peu plus concret (même si cela reste abstrait quand même).

Par exemple, l'intégrale qui définit un produit scalaire en transformée (ou série) de Fourier, permet de généraliser les notions d'orthogonalité, de surface (avec l'énergie ou la valeur efficace).
Le théorème de Parseval généralise le théorème de Pythagore, et fait intervenir des sommes d'aires (des carrés).
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...A9_de_Parseval

Ce même calcul d'intégrale peut aussi être interprété comme une valeur moyenne.


Un mathématicien dira sans doute qu'on peut s'en passer, mais un physicien trouvera l'approche très éclairante pour certaines utilisations.

Ceci dit, je viens de lire que Peano définissait le produit scalaire à partir d'aire et de déterminent.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produi...d'histoire


Sinon, en pure complexe et contour, la transformée inverse de Laplace fait intervenir une intégration dans le plan complexe.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...rse_de_Laplace

[Deedee81]

Salut,

Un bon exemple de significations physiques associées au choix des contours d'intégration est donné par les propagateurs/fonctions de Green en théorie des champs (quantique ou non).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Green
https://en.wikipedia.org/wiki/Propagator

Faut un peu parcourir et décortiquer pour comprendre pourquoi tel ou tel contour mais c'est assez illustratif.

[gg0]

Stefjm :
"J'ai toujours un peu de mal avec l’abstraction totale des mathématiciens où il ne reste que les définitions". Oui, comme beaucoup de gens ont des difficultés avec les notions de physique, particulièrement abstraites.
"Comme physicien, j'essaie toujours de me raccrocher à des exemples un peu plus concrets". Tu confonds "concret" et "connu". Tu t'es habitué à certains concepts physique, mais reconnais que souvent, tu les as rencontrés par le calcul et tu t'y es habitué .
"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'habitue" disait Von Neumann.

Cordialement.

[PhilTheGap]

L'asbtraction totale n'existe pas. Je ne vois pas comment on peut penser naturellement "en 4 dimensions" quand nous sommes plongés dans notre univers qui en comporte 3 - même si certains prétendent que Thurston y parvenait !

[Deedee81]

L'asbtraction totale n'existe pas. Je ne vois pas comment on peut penser naturellement "en 4 dimensions" quand nous sommes plongés dans notre univers qui en comporte 3 - même si certains prétendent que Thurston y parvenait !

Là j'ai du mal à te suivre. C'est justement parce que nous avons du mal à "penser" ce genre de chose que l'abstraction est utile et fréquente.

Pour prendre un exemple, essayer de visualiser les espaces ultramétiques est risqué. Il vaut mieux rester au niveau abstraction.

Et les mathématiques (n'oublions pas où nous sommes ) sont souvent les plus fécondes et les plus belles lorsque le sujet est présenté avec une forte abstraction.

Là aussi un exemple : les vecteurs, vu de manière assez "concrète" en secondaire, ça devient tellement élégant et profond quand on passe à un niveau beaucoup plus abstrait en jetant au bac les "petites flèches"

Ou pour citer une blague qui est du style "c'est tellement vrai" : un physicien et un mathématicien vont voir une conférence sur la théorie des cordes. A la fin, le physicien dit "mais que c'était compliqué, tellement abstrait, impossible de visualiser ces variétés à 11 dimensions". Le mathématicien dit "ben moi j'y arrive". Evidemment le physicien demande : "mais comment fais-tu". Et le mathématicien : "facile, je les visualise à N dimensions puis je pose N = 11".

[PhilTheGap]

J'ai bien pris soin d'écrire l'abstraction "totale". Je veux seulement dire que l'on ne peut pas tirer les maths et plus généralement notre pensée du néant. Mais je n'ai pas écrit - évidemment - que l'on ne savait pas abstraire . Il me semble que c'est ce de la que vient le terme transcendental. Mais là, on quitte les maths pour la philosophie.

[stefjm]

Stefjm :
"J'ai toujours un peu de mal avec l’abstraction totale des mathématiciens où il ne reste que les définitions". Oui, comme beaucoup de gens ont des difficultés avec les notions de physique, particulièrement abstraites.
"Comme physicien, j'essaie toujours de me raccrocher à des exemples un peu plus concrets". Tu confonds "concret" et "connu". Tu t'es habitué à certains concepts physique, mais reconnais que souvent, tu les as rencontrés par le calcul et tu t'y es habitué .
"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'habitue" disait Von Neumann.

Je n'ai pas l'impression de confondre concret et connu.
J'essaie toujours de trouver des processus physiques (concrets) correspondant aux mathématiques (abstraites et connues) que je pratique.

Exemples
Rotation de Wick : opérateur expérimental
https://forums.futura-sciences.com/physique/817657-rotation-de-wick-operateur-experimental.html

Fréquence négative mise en évidence par une modulation d'amplitude
https://forums.futura-sciences.com/p...amplitude.html

[Deedee81]

J'ai bien pris soin d'écrire l'abstraction "totale". Je veux seulement dire que l'on ne peut pas tirer les maths et plus généralement notre pensée du néant. Mais je n'ai pas écrit - évidemment - que l'on ne savait pas abstraire . Il me semble que c'est ce de la que vient le terme transcendental. Mais là, on quitte les maths pour la philosophie.

D'accord. Et oui en effet j'aurais un peu de mal à définir "totale" dans ce contexte. Il y a toujours un point de départ concret quelque part.

Je n'ai pas l'impression de confondre concret et connu.

Pourtant tu pars bien de processus physiques ..... connus

Attention, concret en math n'a pas la signification de concret en physique. Par exemple, tu as les groupes abstraits et concrets et ces derniers peuvent avoir une correspondance en physique mais... pas toujours !!!! Les deux sont notamment liés par les représentations là aussi au sens mathématique. C'est certainement de là que vient la remarque de gg0. Et pour la même raison, l'abstraction a un sens quelque peu différent pour un mathématicien et un physicien. On doit pouvoir en trouver des définitions précises quelque part (je n'ai pas cherché).

[gg0]

Désolé, Stefjm,

mais tes exemples "concrets" sont totalement incompréhensibles pour moi, qui n'ai qu'une formation en physique de niveau L2 et ancienne : J'y suis hermétique !
Ce qui est concret pour l'un peut être incompréhensible pour l'autre. J'ai toujours admiré mes collègues formés en dessin industriel (j'étais prof dans un lycée technique) capables de visualiser dans l'espace et de se comprendre "avec les mains".

Cordialement.

[gg0]

Philthegap :

"J'ai bien pris soin d'écrire l'abstraction "totale". Je veux seulement dire que l'on ne peut pas tirer les maths et plus généralement notre pensée du néant."
Attention, "abstrait" ne veut pas dire "sans support", mais tiré d'un concret (comme les notions abstraites deviennent, par habitude, très concrètes, on peut abstraire sur de l'abstrait, et recommencer.

Les maths ne sont pas construites sur rien, elles partent d'une intuition du réel, puis s'en éloignent de plus en plus par abstraction.

Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Ennuyant. J'ai cherché des définitions appropriées sur le net. Mais rien de.... concret (sans rire). Il est clair que les termes abstraits et concrets sont utilisés un peu partout. Tant en math qu'en physique ou ailleurs. Que les sens varient d'un domaine à l'autre (voire d'une personne à l'autre comme peut l'illustrer le choix des exemples concrets de StefJm, chaque physicien ayant "ses" phénomènes concrets de prédilection). Mais il est tout aussi clair que l'usage de ces termes n'est pas du tout formalisé.Ou serait-ce juste le sens général applique à des "choses" très différentes ? Mais bon, on n'est pas un forum de littérature.

Difficile donc de bien approfondir le sujet dans une discussion (on sait bien qu'une petite moitié des discussions interminables résultent du flou artistique des mots).

Il faudrait revenir au sujet qui est le choix d'un chemin d'intégration en analyse complexe et le pourquoi du comment de ce chemin ("pourquoi" qui peut ou peut ne pas être de la physique). Pour peu qu'il y ait encore quelque chose à dire.

[gg0]

Je laisse aux physiciens donner des applications "concrètes" de la notion, je résume le point de vus du matheux :
On a défini l'intégrale de a à b d'une fonction réelle d'une variable réelle dès le dix-septième siècle :

conçue comme une accumulation des f(x) dx quand x parcourt le chemin de a vers b.
Quand on s'habitue aux complexes, au dix-neuvième siècle, il est logique de définir l'intégrale de a à b d'une fonction complexe d'une variable complexe, a et b étant aussi des complexes. Et tout de suite se pose un problème : S'il y avait, en gros, une seule façon d'aller de a à b pour des réels, il y a une infinité de chemins allant du complexe a =a'+ia" au complexe b=b'+ib". Deux chemins simples : on fait varier x de a'+ia" à b'+ia", puis de b'+ia" à b'+ib"; ou on fait varier x de a'+ia" à a'+ib", puis de a'+ib" à b'+ib". A priori, ça donne deux résultats différents. Donc il faut définir clairement cette notion d'intégrale en fonction du chemin. Et c'est clairement une notion déjà connue depuis plus d'un siècle (intégrale curviligne), à simplement réadapter. Mais arrive alors la surprise des fonctions holomorphes : Non seulement une fonction complexe de la variable complexe qui est dérivable une fois l'est indéfiniment, mais l'intégrale ne dépend pas du chemin ( je laisse de côté les conditions).

Cordialement.

[stefjm]

Salut,

Un bon exemple de significations physiques associées au choix des contours d'intégration est donné par les propagateurs/fonctions de Green en théorie des champs (quantique ou non).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Green
https://en.wikipedia.org/wiki/Propagator

Faut un peu parcourir et décortiquer pour comprendre pourquoi tel ou tel contour mais c'est assez illustratif.

Tout à fait.

Il y a aussi le théorème des résidus pour faire de la transformée de Laplace réciproque.

Exemple concret : réponse impulsionnelle de oscillateur harmonique


En transformée de Laplace :
Les pôles en +-i caractérisent le système physique.

La TL inverse avec intégrale complexe et contour donne la réponse temporelle à l'impulsion. (singularité, pôles et résidu)

https://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%B...C3%A9matiques)
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A...lyse_complexe)

[Deedee81]

Pas seulement pour Laplace. C'est un bon exemple en effet.

Un grand classique est le calcul d'une intégrale sur l'axe des réels (ayant sa propre raison d'être évidemment) et on utilise cette méthode pour les pôles. J'avais vu ça en analyse complexe

[stefjm]

Avec un lien très fort entre les pôles mathématiques et les caractéristiques du système physique décrit par l'équation différentielle.