Théorème de factorisation et sous groupe d'invariance.

**Anonyme007** · 17/11/2021, 18h54

Bonsoir à tous,

Soit $\text{[math]}$ la fonction numérique définie par, $\text{[math]}$ .
Je cherche un groupe $\text{[math]}$ et une fonction $\text{[math]}$ tel que, $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est l'application du passage au quotient
Qu'est ce que $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 17/11/2021, 19h08

$\text{[math]}$ est, je pense, défini par, $\text{[math]}$ . N'est ce pas ? Mais, je ne sais pas comment est définie l'action $\text{[math]}$ .
Merci d'avance.

**MissJenny** · 18/11/2021, 07h25

f est à valeurs dans R. si tu veux que f = f(barre) o pi il faut que f(barre) soit à valeurs dans R et donc RG est R ou une partie de R (auquel cas pour compléter ton diagramme il te faudrait faire intervenir l'injection i :RG -> R)

**GBZM** · 19/11/2021, 15h33

Bonjour,

Anonyme007, tu devrais nous en dire plus sur la source d'où tu as tiré ce problème. Il y a forcément un endroit où les notations utilisées sont introduites.
Tel quel, tout ça est incohérent.
Je comprends que tu cherches l'action d'un groupe $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont dans la même orbite si et seulement si $\text{[math]}$ . Ce n'est pas trop dur à trouver.
Mais que vient faire ce $\text{[math]}$ ? D'habitude, quand un groupe $\text{[math]}$ agit sur un ensemble $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ désigne l'ensemble des points fixes. Ici $\text{[math]}$ ne fait aucun sens, d'autant plus que $\text{[math]}$ agit sur $\text{[math]}$ et pas sur $\text{[math]}$ .

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**Anonyme007** · 19/11/2021, 18h35

Bonsoir,

Merci à vous deux MissJenny and GBZM pour vos réponses.

@GBZM,

Tu tapes le mot clé sur Google : Galois theory towards dessins d'enfants. pages, $\text{[math]}$ , et sur cette page, on dit que, pour tout $\text{[math]}$ , le foncteur $\text{[math]}$ est représentable par l'objet $\text{[math]}$ , ce qui signifie que $\text{[math]}$ , c'est à dire que le diagramme $\text{[math]}$ commute, avec, $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ invariante par l'action d'un groupe $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ .
Alors, je me suis dit que peut être, la fonction $\text{[math]}$ , définie par $\text{[math]}$ vérifie, $\text{[math]}$ , et je voulais déterminer ce groupe $\text{[math]}$ , tel que, $\text{[math]}$ .
Quelle est alors ce $\text{[math]}$ et comment est définie l'action de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ?

Merci pour votre aide.

**GBZM** · 19/11/2021, 22h27

Bref, l'histoire du $\text{[math]}$ , c'était quelque chose sans queue ni tête que tu as toi même inventé.
Trouver une action de groupe sur $\text{[math]}$ pour laquelle $\text{[math]}$ (le carré de la distance au centre) est un invariant, ça n'a rien de sorcier.

**Anonyme007** · 20/11/2021, 19h24

D'accord. Merci GBZM.
Donc, finalement, $\text{[math]}$ .

**Anonyme007** · 17/12/2021, 18h08

Bonsoir,

Comment définit-t-on l'action d'un groupe $\text{[math]}$ à déterminer, sur $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont dans la même orbite si et seulement si $\text{[math]}$ ?.

Merci d’avance.

**GBZM** · 18/12/2021, 18h06

Bonsoir,
Même réponse que pour $\text{[math]}$ , mutatis mutandis.

**Anonyme007** · 06/01/2022, 18h18

Merci GBZM.

Si je peux me permettre, est ce que l'application déterminant, qui à une matrice $\text{[math]}$ de taille $\text{[math]}$ , associe son déterminent $\text{[math]}$ , est invariante par le groupe symétrique $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

**GBZM** · 06/01/2022, 22h19

Comment fais-tu agir $\text{[math]}$ sur l'espace des matrices ? Par permutation des colonnes ? Je pense que tu n'as pas oublié quel est l'effet d'une transposition de deux colonnes sur le déterminant ?

**Anonyme007** · 07/01/2022, 00h54

Envoyé par GBZM

Comment fais-tu agir $\text{[math]}$ sur l'espace des matrices ? Par permutation des colonnes ? Je pense que tu n'as pas oublié quel est l'effet d'une transposition de deux colonnes sur le déterminant ?

Oui. Par permutation des colonnes.
Donc, je définis une action de la forme suivante : $\text{[math]}$ qui à une famille de colonnes $\text{[math]}$ on associe la famille de colonnes $\text{[math]}$ . ( Je crois avoir vue une telle définition d'action lorsqu'on définit ce qu'est un fibré $\text{[math]}$ associé à un fibré $\text{[math]}$ - principal $\text{[math]}$ ).
Bref, deux frames $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ appartiennent à une meme orbite si $\text{[math]}$ , et ceci n'est possible que s'il existe une permutation $\text{[math]}$ qui soit paire telle que, $\text{[math]}$ , car, comme tu me l'as fait remarquer, si on applique une permutation impaire ( une transposition ), on n'obtient que, $\text{[math]}$ , et pour avoir $\text{[math]}$ , il faut appliquer deux fois une transposition ( i. e : une permutation paire ).
Par ailleurs, l'ensemble des permutations paires est le sous groupe alterné $\text{[math]}$ . Donc, l'action est $\text{[math]}$ qui à une famille de colonnes $\text{[math]}$ on associe la famille de colonnes $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ au lieu pour tout $\text{[math]}$ .
Bref, l’application déterminant est invariante par le sous groupe alterné $\text{[math]}$ , et non par le groupe symétrique $\text{[math]}$ .

**jacknicklaus** · 07/01/2022, 22h23

Envoyé par Anonyme007

thcal{A}_n[/TEX] au lieu pour tout $\text{[math]}$ .
Bref, l’application déterminant est invariante par le sous groupe alterné $\text{[math]}$ , et non par le groupe symétrique $\text{[math]}$ .

Ben c'est quand même évident, vu que, avec les alpha fonctions linéaires sur V et les v éléments de V : $\text{[math]}$

**Anonyme007** · 07/01/2022, 23h18

Oui. Merci.

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