Groupe d'invariance de l'équation du PFD.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Je suis mathématicien de formation, et on va dire que je suis nul en science physique. Je n'ai pas revu de science physique dans mon parcours d'apprentissage au cours de ma vie depuis plus de 10 ans. J'ai tout oublié.
Est ce que vous pouvez m'expliquer comment on montre l'invariance de l'équation du principe fondamental de la dynamique, , par le groupe galiléen ?

Merci infiniment.
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[ThM55]

Bonjour. Vaste question, comme disait l'autre. Très simple en apparence, elle cache beaucoup de complications car la loi de Newton ainsi exprimée est d'une très grande généralité. La difficulté vient du fait que votre question n'explicite pas la nature du système considéré, en particulier elle ne dit pas ce que ces forces représentent et comment elles s'expriment en terme des coordonnées et des vitesses. Un piège possible par exemple serait de considérer des forces électromagnétiques. Les corps peuvent être des solides avec des mécanismes internes, cela peut être très compliqué.

Donc je simplifie la question et je suppose que ce système est simplement un système composé d'un nombre fini de points matériels massifs dont les forces dérivent d'un potentiel . La preuve est alors très simple: la loi de Newton dérive d'un lagrangien . La somme du premier terme est l'énergie cinétique totale. Elle ne dépend que des vitesses. Quand on applique la transformation de Galilée , le terme cinétique du lagrangien acquiert des termes supplémentaires de la forme . Le troisième terme est constant et peut être ignoré, il tombe dans les équations d'Euler-Lagrange. Le terme linéaire dans les vitesses également puisque la dérivée est constant et sa dérivée par rapport au temps est nulle. Il reste le terme potentiel. La fonction est remplacé par une fonction W selon . Son gradient est inchangé. Donc les équations d'Euler-Lagrange sont invariantes et partant les équations de Newton.

Je pourrais continuer avec un nombre énorme d'autres configurations (en passant par divers types de forces, divers types de systèmes, des fluides, etc) mais je ne vais tout de même pas écrire ici un traité de mécanique.

[ThM55]

NB: on peut aussi faire une hypothèse sur la manière dont les vecteurs force se transforment sous le groupe, à savoir qu'elles se transforment comme les accélérations. Cela devient très simple, mais à mon avis ce serait une pétition de principe, ce n'est pas une démonstration. C'est peut-être là que se situe la différence entre les maths et la physique: la physique doit représenter des choses réelles. En math on peut tout déduire à partir d'axiomes qui nous arrangent.

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci pour ces précisions ThM55.

En fait, j'ai appris il y a pas mal de temps, que l'équation du principe fondamental de la dynamique en mécanique newtonienne a été découverte en ayant fait l'étude de son groupe d'invariance qui est le groupe de Galilée.

Au début, les physiciens du -ième et -ième siècle ne connaissaient pas encore la notion de groupe comme c'est le cas aujourd'hui, mais ont-ils quand meme dégagé l'expression de l'équation du principe fondamental de la dynamique sur la base de l'étude théorique des mouvements relatifs d'un corps se déplaçant dans deux référentiels galiléens en mouvement d’inertie.

Est-ce que vous pouvez m'expliquer en détails, comment ont-ils pu dégager l'expression de l'équation du principe fondamental qui est , à partir de son groupe d'invariance qui est le groupe galiléen ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Après Wikipedia (qui a des articles sur le sujet), c'est à Newton qu'il faudrait poser la question. Dans les Principia, que je vous recommande d'étudier, il pose F=ma comme un postulat. Il déduit le reste à partir de cela et des autres postulats. Il ne fait nulle part mention du groupe de Galilée. Je pense que c'est Poincaré qui a explicité tout cela, mais je peux me tromper, je ne suis pas historien.

Mais il faut évidemment lire Newton entre les lignes et aussi bien connaître ce qu'il avait lu : Galilée, Kepler, Huyghens, Descartes, ... Surtout Galilée. Il faut lire très attentivement le second chapitre "Axiomes" qui fait suite à celui sur les définitions. Dans la scolie à la fin de ce chapitre, il explique d'où viennent ses axiomes et il mentionne les travaux de Galilée. Dans un passage, il dit même que Galilée a expliqué la chute des corps en appliquant les deux premières lois (la loi d'inertie et la loi de la dynamique F=ma) pour expliquer la chute des corps, ce qui signifie que Newton les lui attribue, au moins pour la gravité à la surface de la terre. Il les complète par la troisième, qu'il discute en profondeur dans la même scolie et précise la distinction entre poids et masse, généralise la loi à d'autres types de forces etc (il se décrivait comme un nain juché sur les épaules de géants).

Il ne peut pas ne pas avoir lu le texte très imagé dans lequel Galilée explique comment les lois de la chute des corps sont identiques sur un quai et à l'intérieur d'un bateau en mouvement uniforme par rapport à ce quai. Ce n'est pas complètement explicite chez Newton, mais cette influence est bien présente. La difficulté est de la trouver: en effet Newton procède par problèmes résolus, il pose un problème et donne la solution en utilisant les axiomes et des résultats intermédiaires. Dans de nombreux problèmes on voit qu'il a cela bien présent à l'esprit. Je pense que sa notion d'espace absolu sert justement à donner une explication au principe d'inertie (voir l'expérience du seau en rotation).

Voici un article de Michel Paty qui parle de l'aspect historique e la question: https://hal.archives-ouvertes.fr/halshs-00170527v1

NB: pour la partie rotation, cela découle du fait que c'est la norme de la vitesse qui intervient dans le lagrangien et que la fonction U est scalaire.

[Anonyme007]

Merci beaucoup ThM55.