Equation dans un groupe cyclique

[invite7c6483e1]

Bonjour,
je n'arrive pas à trouver le nombre de solutions de l'équation où g est un élément de G un groupe cyclique multiplicatif. J'ai avancé des idées mais je n'arrive pas à conclure sur la réponse que je connais et qui est , pour tout entier naturel non nul.
Etant donné que G est cyclique il existe un générateur tel que tout élément du groupe est une puissance de cet élément, notons ces puissances . Il en suit que pour que soit solution de mon équation il faut que . Je dois donc trouver le cardinal du noyau du morphisme pour tout dans Z/nZ non ? Si oui, je n'y arrive pas.
Merci pour votre aide
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[invite7c6483e1]

UP!
Personne pour m'aider un peu ?

[invite7c6483e1]

Toujours personne pour se pencher là dessus ? Ca fait peur à tout le monde ? haha j'plaisante !
Bon j'ai un peu avancé sur la question mais je n'arrive toujours pas à conclure...
Je rappelle que je note .
Comme je disais pour que l'équation soit vérifiée, il faut que .
On s'intéresse donc uniquement aux tels que pour un certain entier non nul. Or . Donc finalement on s'intéresse aux pour un certain entier non nul.
Mon but est de prouver que si je note le morphisme , . En effet, le noyau est cyclique car sous-groupe de (Z/nZ,+) qui est cyclique, et il est donc de cardinal , ce qui est le résultat que je veux.
Montrons le par double inclusion.
. En effet, .
Il s'agit maintenant de montrer l'inclusion réciproque.
Soit , ceci est équivalent à dire que pour un certain entier non nul. Ce qui peut être écrit pour un certain entier non nul. Donc on a l'inclusion réciproque. CQFD.

Si quelqu'un peut me confirmer cette preuve ou me trouver une erreur, ça m'aiderait merci.

[invite7c6483e1]

Précision:
Je suis allé un peu vite sur le cardinal mais en gros si , l'ordre du sous groupe engendré par est . De plus, lorsque pour un certain entier , , on a . On a donc bien que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c6483e1]

Petite boulette sans incidence sur la preuve:
La première inclusion que je veux montrer c'est bien entendu: et non l'inverse comme je l'ai écrit par mégarde

[invitea0db811c]

bonjour,

en fait le truc c'est que ta preuve parait un peu mastoc pour un résultat comme ça qui il me semble ne mérite pas tant de "violence"

on pose alpha = a*b où b est ton pgcd.
Il existe un et un seul sous groupe H de cardinal b dans G (propriété d'un groupe cyclique).
On montre ensuite que l'on a la propriété "x € H si et seulement si x^b = 1", l'implication droite gauche est évidente, la gauche droite vient du fait que :
si x^b = 1, alors |<x>| (le cardinal du sous groupe engendré par x) divise b, et on sait qu'il y a un unique sous groupe de cardinal |<x>| dans G, or il existe un sous groupe de H de cardinal |<x>|, donc c'est bien <x>.

On conclut en disant que tout élément de H vérifie bien la propriété.

PS : bon il est possible que la popriété d'unicité revienne peu ou prou à ce que tu as écris, mais bon. Dans le doute j'vais lire ce que tu as écrit.

[invite7c6483e1]

En gros tu dis que l'équation équivaut à l'équation et que donc elles ont le meme nombre de solutions? Bien vu !