équation de Schrödinger : non invariance de Lorentz

[invite53e2e733]

Bonjour,

on dit souvent que l'équationde Schrödinger n'est pas invariante de Lorentz.

Comment le prouver ?

(sans utiliser les solutions de l'équation : en utilisant l'*équation*)

Merci
-----

[ThM55]

L'équation de Schrödinger non relativiste employée pour décrire l'état d'un nombre fini de particules libres utilise le hamiltonien , ce qui n'est pas une relation invariante de Lorentz. Dans l'espace-temps de Minkowski, l'énergie et l'impulsion forment un quadrivecteur et on a .

Il faut toutefois noter qu'on appelle parfois "équation de Schrödinger" une forme plus générale où est l'état quantique d'un système. Elle s'écrit sous la forme . En général sous cette forme on considère le psi comme un "ket" de Dirac, un vecteur dans l'espace de Hilbert des états. La représentation de Schrödinger s'obtient à partir de là en définissant la fonction d'onde en fonction des coordonnées par . Dans ce cas, si le hamiltonien respecte l'invariance de Lorentz, l'équation de Schrödinger aussi. Par exemple l'équation de Dirac pour une particule de spin 1/2 est une "équation de Schrödinger" en ce sens étendu.

[invite7ce6aa19]

L'équation de Schrödinger non relativiste employée pour décrire l'état d'un nombre fini de particules libres utilise le hamiltonien , ce qui n'est pas une relation invariante de Lorentz. Dans l'espace-temps de Minkowski, l'énergie et l'impulsion forment un quadrivecteur et on a .

Il faut toutefois noter qu'on appelle parfois "équation de Schrödinger" une forme plus générale où est l'état quantique d'un système. Elle s'écrit sous la forme . En général sous cette forme on considère le psi comme un "ket" de Dirac, un vecteur dans l'espace de Hilbert des états. La représentation de Schrödinger s'obtient à partir de là en définissant la fonction d'onde en fonction des coordonnées par . Dans ce cas, si le hamiltonien respecte l'invariance de Lorentz, l'équation de Schrödinger aussi. Par exemple l'équation de Dirac pour une particule de spin 1/2 est une "équation de Schrödinger" en ce sens étendu.

Bonsoir,

Je trouve bizarre ta réponse, L.hamiltonien ne peut pas respecter l'invariance de Lorentz puisque l'expression generateur du temps est explicité a part. C'est l'équation de Shrodinger toute entiére qui peut être éventuellement invariante de Lorentz. Non?

[ThM55]

Quand je dis que le hamiltonien respecte l'invariance de Lorentz, c'est juste un abus de langage, qu'un lecteur averti peut comprendre aisément. Pour être plus précis, je devrais dire qu'il se transforme comme la composante temps d'un quadrivecteur. Ce n'est pas le cas pour , et c'est pourquoi l'équation de Schrödinger "ordinaire" n'est pas relativiste. Si le hamiltonien est relativiste en ce sens, l'équation de Schrödinger est invariante sous les transformations de Lorentz. C'est bien le cas, comme je l'ai dit, pour l'équation de Dirac, qui est du premier ordre donc de la forme , où n'est plus un scalaire, mais un spineur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

Quand je dis que le hamiltonien respecte l'invariance de Lorentz, c'est juste un abus de langage, qu'un lecteur averti peut comprendre aisément. Pour être plus précis, je devrais dire qu'il se transforme comme la composante temps d'un quadrivecteur. Ce n'est pas le cas pour , et c'est pourquoi l'équation de Schrödinger "ordinaire" n'est pas relativiste. Si le hamiltonien est relativiste en ce sens, l'équation de Schrödinger est invariante sous les transformations de Lorentz. C'est bien le cas, comme je l'ai dit, pour l'équation de Dirac, qui est du premier ordre donc de la forme , où n'est plus un scalaire, mais un spineur.

Bonjour,

Ma remarque ne s'adressait pas a toi directement, mais au lecteur qui va comprendre qu'unhamiltonien peut être relativiste en soi, ce qui est strictement impossible par définition, d 'oü ma remarque. Il n ,y a pas que des lecteurs avertis, dans le cas contraire je ne serais pas intervenu, bien évidemment.

[ThM55]

D'accord, merci. Il est d'ailleurs toujours mieux d'employer les termes précis, je suis bien d'accord.

[invite53e2e733]

Merci pour vos explications

il me reste un petit détail.

Ton explication utilise p^2 / 2m et l'analogie avec E^2=p^2c^4-mc^4

Je voudrais le démontrer sans ces opérateurs, mais uniquement avec les dérivées.

Soit l'équation de Schrödinger :
ihbar dPsi/dt = -(hbar^2 / [2m])Delta Psi + V(psi)

simplifions à un axe en prenant z l'axe de boost. On peut simplifier au cas d'une particule libre : potentiel nul.

mon problème est comment je vais exprimer le d/dF (avec F=t ou z)

On a la transformation de Lorentz :
z=gamma (z' + v t')
t=gamma (t'+v x' / c^2)

donc en différenciant :
dz=gamma (dz'+v dt')
dt=gamma (dt'+vdx' / c^2)

mon problème est comment je vais exprimer le "d" du numérateur dans d/dF (avec F=t ou z)
[afin de montrer que après transformation de Lorentz l'équation n'est plus la même]

en reformulant : je ne sais pas comment faire :
passer de dz=gamma (dz'+v dt')
à d[...]/dz

merci

[azizovsky]

Bonsoir , voir la relation 49.5 comment on passe de df à df/dx dans http://www.sciences.ch/htmlfr/cosmol...visteres01.php

[azizovsky]

[afin de montrer que àprès transformation de Lorentz l'équation n'est plus la même]

Salut ,afin de montrer que après transformation de Lorentz l'équation est la même.

[afin de montrer que après transformation de galilée l'équation n'est plus la même]

[ThM55]

On dirait qu'on apprend l'équation de Schrödinger avant d'apprendre le calcul différentiel... c'est dommage. Il s'agit de la dérivée de la composition des fonctions. On a donc par exemple pour psi(t,x):





Si on applique le même théorème au membre de droite, on obtient une équation qui n'a plus du tout la forme initiale.

Il est trivial de montrer par exemple que l'équation de Klein-Gordon est invariante sous Lorentz, c'est un bon exercice pour se familiariser avec ce genre de manipulations. NB: le champ de KG est un scalaire, donc invariant. Pour l'équation de Dirac, c'est déjà nettement moins évident, car le spineur se transforme de manière non triviale.

[invite53e2e733]

merci à tous