Bonjour à tous,
Je me demandais s'il était possible de déterminer l'expression du lagrangien à partir du groupe d'invariance ; par exemple, retrouver le lagragien de la mécanique classique en utilisant le groupe de Galilée, ou retrouver le lagrangien de la RR via le groupe de Lorentz.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance,
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
Salut,
non, tu ne peux pas determiner de maniere unique le lagrangien comme cela. L'etude des symetries ne te permet que de construire les termes qui peuvent entrer dans ton lagrangien.
Ta question amene plutot la reflexion sur la façon dont on construit un modele. On a un grand principe (le principe de moindre action) et ensuite le lagrangien a utilisé depend de ce que tu veux decrire. Car meme si tu mets tous les invariants autorisés, rien ne te permet de fixer les constantes de ton modele.
Tout comme m'etude du groupe de Lorentz ne te dit pas la valeur de la vitesse de la lumiere.
Bonjour,
L'idée que tu proposes est exactement celle qui mène à l'étude des symétries en physique, si ce n'est que ce n'est pas le Lagrangien qui se retrouve à partir des symétries mais le Hamiltonien.
Pour cela, on est amené à étudier les représentations irréductibles de certains groupes de symétries (qui sont en général des groupes de Lie, et donc on s'intéresse également à leur algèbre), et en imposant certaines contraintes on retrouve tous les Hamiltoniens "physiques" respectant cette symétrie et ces contraintes.
Autant dire que pour un groupe donné, il en existe énormément.
En particulier, l'étude des représentations irréductibles de SU(2) (sur des espaces vect de dim finis) permet d'étudier les états de spins entiers ou demi-entiers.
Ne peut-on pas étendre le raisonnement que l'on trouve ici : Hidden invariance of the free classical particle (dans le paragraphe 3) ?non, tu ne peux pas determiner de maniere unique le lagrangien comme cela. L'etude des symetries ne te permet que de construire les termes qui peuvent entrer dans ton lagrangien.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Salut,Envoyé par Spinfoam
Dans ma naïve compréhension des choses c'est la Lagrangien qui "contient" les symétries du système pas le Hamiltonien. Il suffit de prendre le cas de la RR : on construit une action invariante par changement de référentiel galiléen au sens de Lorentz-Poincaré (je sais jamais comment écrire Lorentz), et en déduit le reste. Notamment l'hamiltonien du système qui n'est qu'une composante du quadri-vecteur impulsion-énergie (pour une particule non quantique) et qui n'est donc pas invariant par changement de référentiel galiléen.
Tu n'as pas dû noter la subtilité du message de Thwarn. Il ne dit pas que la forme du Lagrangien ne peut pas être trouvée en utilisant les symétries du système. Il dit que les symétries ne disent pas à quel ordre s'arreter par exemple ou quelle est la valeur des constantes de couplages ou paramètres intervenants dans le modèle.
Ce que tu dis est vrai, seulement lorssqu'on étudie les représentations d'un groupe de symmétrie, c'est le Hamiltonien qu'on retrouve et pas le Lagrangien non ?
Bonjour,
Ta question est en fait de portée très générale. En effet dans l'exercice du métier de physicien on est amené à construire des lagrangiens ou des hamiltoniens pour décrire la réalité expérimentale. Il existe donc des centaines de milliers d'hamiltoniens et de lagrangiens qui sont construits à partir de considérations de symétries. L'outil mathématique pour faire cela s'appelle la théorie de représentations des groupes (TRG).
Donc ta question peut-être élargie sous la forme:
Etant un groupe G de transformations (géométriques ou algébriques) construire des lagrangiens ou des hamiltoniens invariants sous les transformations de G.
Cette question peut et doit être élargie au fait que la grandeur doit se transformer d'une certaine façon sous les transformations de G (l'invariance étant un cas particulier). En fait selon les représentations irréductibles du groupe G.
Exemple simple:
Quand tu écris:
V = V1 + V2 + V3
où les V sont des vecteurs et donc se transforme comme un tenseur de rang 1 sous les transformation euclidiennes du groupe euclidien E3 (Translation + rotation).
Comme noté par Twarn et al.. je peux mettre autant de vecteurs que je veux et même multiplier chaque vecteur par un scalaire.
Cela devient intéressant et relève de la TRG quand on veut écrire:
O = O1.O2 + O3.O4 + ....
En effet il faut trouver les opérateurs O1, O2, O3, O4 ... de telles façons que les produits fournissent des opérateurs qui se transforment comme l'opérateur O dans les opérations du groupe G.(Cela renvoie au théorème de Wigner-Eckart)
Encore une fois les considérations de symétries permettent de construire tous les opérateurs possibles compatibles avec le groupe G. Il y a donc toujours surabondance de termes et dans la pratique seuls quelques termes suffisent pour rendre compte de l'expérience.
Ceci est une invitation a s'investir dans la TRG.
Si je pense à la théorie quantique des champs on détermine toujours une action à partir des symétries du système et pas un Hamiltonien.
La distinction est par contre plus floue dans les approches de type Ginzburg-Landau en théorie statistique des champs où "l'action" représente une énergie libre.
bonjour,
Tout dépens si la TQC est relativiste ou pas. Si elle est relativiste on travaille plutôt avec le Lagrangien et une jauge de Lorentz. Si la TQC est non relativiste on travaille plutôt avec l'hamiltonien et une jauge de Coulomb.
Il y a une stricte équivalence (mathématique) entre les deux. Dans un cas on minimise une action (principe général de la mécanique) et dans l'autre une densité d'énergie libre (selon les principes de la thermodynamique des ensembles canoniques).La distinction est par contre plus floue dans les approches de type Ginzburg-Landau en théorie statistique des champs où "l'action" représente une énergie libre.
Dans les 2 cas il s'agit d'une fonction d'un champ et de ses gradients. Seule la signification des termes change: La dimension du champ (2S +1 pour des champs de masse non nulles) devient la dimension du paramètre d'ordre et l'énergie cinétique du champ devient les fluctuations du paramètre d'ordre.
Pour etre tout à fait precis, on minimise l'action effective, qui inclut toutes les fluctuations (statistique et/ou quantique).
Si il n'y a pas d'anomalie, les symetries de l'action se retrouvent dans celle de l'action effective. De plus, si on s'arrete à une approximation de type champ moyen (ou classique), l'action effective (ou energie libre (de Gibbs)) est egale à l'action d'ou la confusion qui existe souvent, alors que ce sont deux quantités tres differentes, l'action decrit la physique microscopique/ hautes energies, tandis que l'action effective decrit toute la physique du probleme (si on sait la calculer, bien entendu)
Ok mais en principe le théorème de Noether et tout ce qui s'en suit c'est avec le Lagrangien non ?
Le théorème de Noether s'applique lorsque les transformations forment un groupe continu.
Si tu écris le Lagrangien d'une molécule de Benzène, il n'y a pas de place pour le théorème de Noether.
