Invariance de jauge et théorème de Noether

[legyptien]

Bonjour,

Je touche pas (encore) ma bille en Lagrangien et Hamiltonien.

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.

En lisant l'invariance de Jauge, je vois que ça correspond a une transformation qui ne change pas les équations mais je ne crois pas que ce soit des transformations de coordonnes.

Bref ma question est simple: Est ce que le théorème de Noether et l'invariance de Jauge exprime la même chose ? ou peut être que l'invariance de Jauge est un cas particulier du Théorème de Noether car ce dernier m'a l'air bien général (ce qui fait sa force probablement).

Merci!
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[Quarkonium]

Salut,

Je crois qu'il y a confusion. Comme tu l'as déjà dit, le théorème de Noether associe l'invariance du Lagrangien d'un système sous un groupe de transformations à la conservation d'une quantité. Mais cela n'est pas réservé qu'aux changements de coordonnées.

Les jauges sont basiquement des paramètres redondants du Lagrangien, c'est-à-dire que, même s'ils entrent dans sa définition fondamentale, ils peuvent être changés à volonté sans modifier ce Lagrangien au final. Tous les changements de valeurs d'une jauge représentent donc un groupe de transformations par lequel le Lagrangien est invariant. On peut alors utiliser le théorème de Noether pour associer à cette invariance la conservation de certaines quantités. C'est par exemple ainsi qu'en physique des particules, l'interaction électromagnétique est décrite par un Lagrangien invariant sous certaines transformations et qui décrit la conservation de la charge électrique quand on applique le théorème de Noether.

[legyptien]

Salut,

Je crois qu'il y a confusion. Comme tu l'as déjà dit, le théorème de Noether associe l'invariance du Lagrangien d'un système sous un groupe de transformations à la conservation d'une quantité. Mais cela n'est pas réservé qu'aux changements de coordonnées.

Ah !! J'ai repris la definition de wikipedia mais c'est pas toujours exact... CA peut etre juste une seule transformation ? parce que tu dis GROUPE de transformations.


edit: j'ai eu ma reponse dans la suite du message. merci a toi

[legyptien]

L'article de wiki parle vraiment que de transformation de coordonnées mais bon...

Ok rendu la on fait quoi ? Je veux dire on a décrit nos interactions fondamentales avec une invariance de Lagrangien qui correspond a une grande physique qui se conserve. Cette grandeur a un sens particulier j'imagine ?

Je m'essaie a une interprétation, il faut pas m'en vouloir si je me plante (Je suis moins mauvais en interprétation qu'en math). Avec l'exemple que tu as donne pour l'interaction électromagnétique et la charge électrique, un truc me vient a l'esprit: C'est le parallèle qui est fait entre le fait que la charge (électrique) est "sensible" au champ électrique de la même manière qu'une masse est ''sensible'' au champ gravitationnel. un parallèle entre la formule de coulomb et celle décrivant le champ gravitationnel crée par une masse.

D’où ma question: Est ce que le théorème de Noether ne sert pas a trouver la grandeur physique qui est sensible a la grandeur physique "étudiée" ou "décrite" ? L'application du théorème de Noether a la gravitation a t'elle était faite et a t'elle donnée la masse (je crois qu'il faut que je précise inertielle) comme grandeur qui se conserve ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Je pense qu'à un moment les questions ne peuvent avoir de réponses que si on se retrousse les manches et qu'on se met à étudier un cours, sérieusement. Pas de la vulgarisation. Ou alors il faut en accepter les limites.

[Quarkonium]

Je suis assez d'accord avec albanxiii, il s'agit d'un sujet complexe et assez abstrait qui ne peut pas vraiment être compris sans faire de maths.

1) Il ne faut pas oublier que la physique a pour objectif de décrire le monde qui nous entoure et que c'est donc l'expérience qui dicte dans quel sens la théorie doit aller. On observe que des particules possèdent un paramètre qui peut prendre deux types de valeurs opposées qu'on appelle '+' et '-', et ce paramètre on l'appelle charge électrique. On observe également que dans un système isolé, la charge électrique totale est toujours conservée. On décide donc que le meilleur Lagrangien à utiliser pour décrire les lois de la physique doit posséder la symétrie qui, après utilisation du théorème de Noether, résulte en la conservation de la charge électrique.
Bien sûr la réflexion n'a pas été aussi directe d'un point de vue historique, les différentes branches de la physique et des mathématiques progressant pas-à-pas, chacune à leur rythme. Mais j'espère que tu vois l'idée générale. Cette "grandeur qui se conserve" n'est pas une simple curiosité mathématique, mais bien quelque chose qu'on observe et qu'on mesure dans les expériences et la vie de tous les jours. L'utilisation de la mécanique analytique, et donc du Lagrangien, est pratique car elle permet de décrire de façon relativement simple et élégante les différentes lois de conservation (et symétries associées via Noether).

2) Le parallèle entre charge et champ est logique. Le champ est un objet destiné à décrire l'interaction entre charges. D'un point de vue classique, on peut dire qu'une charge génère un champ qui va influencer une autre charge, le champ n'étant donc qu'un intermédiaire pratique pour décrire l'influence que la première charge a sur la seconde.

3) Ne cherche pas à faire dire au théorème plus qu'il ne dit. La relativité générale peut être décrite avec les outils de la mécanique analytique. Je laisse les experts du domaine apporter des précisions s'ils le souhaitent. En tout cas comme on sait que la masse ne se conserve pas de façon générale, il n'est pas très utile de formuler une théorie qui va dans ce sens.

[Avatar10]

Je suis aussi pleinement d'accord pour le coté "se relever les manches".

Et aussi sur ce point:

3) Ne cherche pas à faire dire au théorème plus qu'il ne dit. La relativité générale peut être décrite avec les outils de la mécanique analytique. Je laisse les experts du domaine apporter des précisions s'ils le souhaitent. En tout cas comme on sait que la masse ne se conserve pas de façon générale, il n'est pas très utile de formuler une théorie qui va dans ce sens.

Il est vrai qu'une lampe est un outil (le théorème), il éclaire l'action, mais ne la fait pas. Autrement dit, quand on se ballade au pays des symétries, avec cette lampe en main, on peut éclairer de nombreux domaines de physiques (de la mécanique classique à la physique quantique), on peut même y trouver des bâtons nous aidant mieux marcher grâce à notre lampe.
De plus pour parler de masse en relativité générale, il faudrait déjà bien la définir.

[legyptien]

Se retrousser les manches, ca a pas l'air mais je le fais. Je glande pas. Alors je retrousse pas les manches sur ca je l'avoue parce que je réfléchie a d'autres choses et viendra le temps ou j'approfondirais le sujet.

Je ne fais pas dire au théorème quelque chose qu'il ne dit pas mais en science l’interprétation, les conséquences (ou sous entendu) d'un théorème sont importants. Bon j'ai compris que j'ai encore fait un lien qui n'existait pas...

Merci de vos reponses.