Invariance de jauge (interprétation)

[isozv]

Bonsoir,

Lorsque l'on prende l'équation de Schrödinger on peut multiplier dans un premier temps la fonction d'onde par une exponentielle du type:

exp(i*g*alpha)

où "g" est une constante de couplage (nombre réel) et alpha un paramètre constant.

Il me semble comprendre l'interêt: C'est comme si on appliquait un déphasage à la fonction d'onde (en supposant qu'elle soit de cette forme ce qui restreint considérablement le cas d'étude) et la constante de couplage est là pour normaliser les unités. On doit donc bien avoir sous une telle manipulation une invariance (c'est logique je peux l'imaginer physiquement).

Ensuite, pour généraliser (et là je décroche), on impose qu'alpha est un paramètre dépendant des coordonnées et du temps. La multiplication de la fonction d'onde par:

exp(i*g*alpha(x,y,z,t))

et on bricole un peu pour avoir une nouvelle invariance de jauge et hop on fait grosso modo apparaître le champ électromagnétique. Mais.... comment interpréter physique la transformation:

exp(i*g*alpha(x,y,z,t))

?? Certes la plupart des polycopiés parlent de transformation géométrique.... mais physiquement à l'échelle microscopique que cela implique-t-il? Un déphasage non constant???

Merci pour votre aide.
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[Karibou Blanc]

Mais.... comment interpréter physique la transformation:

L'argument avancé par Yang était le suivant. Lorsqu'on fait une transformation globale (pour des dégrés de liberté interne, exemple isospin ou charge électrique, cad autres que des rotations, translation, ou boost) qu'est ce qui impose que la meme transformation doit etre faite à toutes les particules et ceux indépendament de leur position relative ? En d'autres termes, la possibilité d'une telle transformation globale s'interpréterait comme un lien de cause à effet (ou une corrélation) entre des particules qui pourraient etre séparées par des intervalles de genre espace. Ainsi physiquement il parait plus naturel de réaliser des transformations locales (qui dépendent de la position) et efface par la meme toute éventuelle corrélation entre des points différents.
C'est la seule raison physique que je connaisse qui justifie la motivation des transformation de jauge. Outre le fait qu'elle permettent de relier interaction fondamentale et symétrie mathématique (groupe de Lie).

[Gwyddon]

Outre le fait que je partage la vision de Karibou, je tenais juste à rajouter aussi une petite contribution : pour moi l'invariance de jauge (par exemple l'EM) ça signifie que tu peux choisir une phase F à Paris, une phase G à Tokyo, cela ne doit pas influer sur le résultat de ton expérience. Cela impose alors une interaction (puisque le choix est alors local, comme l'a indiqué Karibou), et cette interaction est décrite par son comportement vis-à-vis de cette invariance de phase (de jauge) et comment l'on décrit la phase.

[isozv]

Mouais... l'explication me semble justifiée. C'est basé sur les postulats de Noether non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

C'est basé sur les postulats de Noether non?

Le théorème de Noether dit juste que s'il exite une symétrie globale alors il y a un courant (et une charge via integration du courant) conservé. Mais il n'apprend rien de plus lorsque la symétrie est locale.

[isozv]

Salut Gwydon

J'aime bien ton approche mais j'y vois une objection: La forme mathématique ne dit pas que l'on peut prendre deux phases différentes à deux endroits il me semble mais que la phase est fonction du lieu donc à chaque lieu est imposé une phase différente (dont la variation est implicitement cachée dans alpha).

Qu'en penses-tu?

Par ailleurs une autre chose me gêne de manière générale, cette invariance locale où l'on joue avec un phaseur ne marche il me semble qu'avec des solutions de type onde. Si l'on essaie de faire un changement de jauge sur les harmoniques sphérique solution de l'équation de Schrödinger dans le cas du l'atome hydrogénoïde (rotateur rigide) on se casse les dents car la forme mathématique des solution ne s'y adapte pas toujours suivant les orbitales.

Merci merci pour vos avis (cette interprétation me passionne... ;- )

[Karibou Blanc]

La forme mathématique ne dit pas que l'on peut prendre deux phases différentes à deux endroits il me semble mais que la phase est fonction du lieu donc à chaque lieu est imposé une phase différente

ou bien je suis pas réveillé, ou bien c'est exactement ce qu'a dit gwyddon.

Par ailleurs une autre chose me gêne de manière générale, cette invariance locale où l'on joue avec un phaseur ne marche il me semble qu'avec des solutions de type onde. Si l'on essaie de faire un changement de jauge sur les harmoniques sphérique solution de l'équation de Schrödinger dans le cas du l'atome hydrogénoïde (rotateur rigide) on se casse les dents car la forme mathématique des solution ne s'y adapte pas toujours suivant les orbitales.

Si cette symétrie est exacte alors elle est vraie quelle que soit la forme mathématique de ta fonction d'onde, meme si cette dernière parait compliquée, au final la symétrie t'impose que décaler localement la phase se changera pas les résultats de mesures d'observables.
Maintenant il faut faire attention au fait qu'une invariance de jauge implique l'existence d'un champ de jauge et d'une interaction entre ton système initial et ce dernier.

[Gwyddon]

ou bien je suis pas réveillé, ou bien c'est exactement ce qu'a dit gwyddon.

Euh oui il me semble que c'est ce que j'ai dit, ce qui est une autre manière de reformuler ce que tu avais déjà dit par ailleurs.

Maintenant il faut faire attention au fait qu'une invariance de jauge implique l'existence d'un champ de jauge et d'une interaction entre ton système initial et ce dernier.

Et c'est là le point essentiel : par exemple une invariance de jauge abélienne implique l'électromagnétisme.

[isozv]

Ok mais cette invariance de jauge globale impose donc qu'il n'existe pas de particules libres chargées?????

Comment interpréter cela dans la réalité du laboratoire?

[Karibou Blanc]

Ok mais cette invariance de jauge globale impose donc qu'il n'existe pas de particules libres chargées?????

par définition une invariance de jauge est locale, c'est tu parles d'une symétrie globale, il n'y a pas de mot. Si tu as une symétrie globale, tu as bien des particules chargées, le théorème de Noether te dira qu'il existe une charge conservée associée à cette symétrie globale d'ailleurs. Mais elles n'interagissent pas entre elles, il n'y a pas de champ de jauge (puisque la symétrie est juste globale). Physiquement on pourrait se demander ce qui signifie une charge sans interaction. Pour moi la notion de charge est défini par le fait qu'il y ait une interaction. En d'autres termes, s'il ne se passe rien (pas d'interaction) alors ce n'est pas la peine d'introduire des grandeurs physiques (charges) pour décrire ce qui se passe, puisqu'il ne se passe rien (tu me suis ).

Maintenant rien ne t'empeche d'écrire un lagrangien non invariant de jauge avec un champ électromagnétique, et des termes d'interactions mis à la main. La symétrie de jauge est juste un moyen de contraindre la forme de ces termes d'interaction et de restreindre leur liste à quelqu'un (seulement 1 en QED).

Donc pas de symétrie de jauge (locale donc) ne signifie pas pas de champ vecteur d'interaction, c'est juste qu'avec la symétrie de jauge, ce champ est inévitable et sa dynamique est pré-déterminée par cette dernière.
Et une symétrie globale implique l'existence de charge intrinsèque qui se conserve, et c'est tout, mais si physiquement on pourrait penser qu'une charge appelle une interaction.

[isozv]

Interprétation très intéressante et instructive!

Merci beaucoup à tous pour votre point de vue.

[invite64c4b5da]

Si tu as une symétrie globale, tu as bien des particules chargées, le théorème de Noether te dira qu'il existe une charge conservée associée à cette symétrie globale d'ailleurs. Mais elles n'interagissent pas entre elles, il n'y a pas de champ de jauge (puisque la symétrie est juste globale). Physiquement on pourrait se demander ce qui signifie une charge sans interaction. Pour moi la notion de charge est défini par le fait qu'il y ait une interaction. En d'autres termes, s'il ne se passe rien (pas d'interaction) alors ce n'est pas la peine d'introduire des grandeurs physiques (charges) pour décrire ce qui se passe, puisqu'il ne se passe rien (tu me suis ).

Bonjour Karibou,

mais alors que penser d'une theorie qui conserve la parite, le nombre baryonique, le nombre leptonique (sans entrer dans les problemes d'anomalie), B - L ?

[Karibou Blanc]

conserve la parite

la parité est une symétrie d'espace (c'est un cas particulier de rotation), donc ca ne pose pas de problème qu'elle soit simplement globale. Cela signifie juste qu'il n'y pas de sens privilégié (droite/gauche) pour décrire le système.

le nombre baryonique, le nombre leptonique (sans entrer dans les problemes d'anomalie), B - L

Les nombres baryonique et leptoniques ne sont pas des symétries au niveau quantique du modèle standard, il y a des anomalies (le fameux diagramme triangle de Adler et al.) et des processus non-perturbatifs (de type instantons) violent ces symétries. Cependant leur propabilité de réalisation est incroyablement faible (exp(-100) environ) de sorte que ces nombres apparaissent conservés (à température nulle tout du moins).
En revanche, B-L est une symétrie globale exacte du modèle standard mais accidentelle, elle n'est pas imposée a priori, elle découle de la construction du MS à l'aide de l'invariance de jauge. En particulier dans la plupart des extensions de ce dernier impliquant un facteur U(1) supplémentaire, la charge associée (que l'on choisit) est souvent B-L, car celle-ci est connue pour être conservée dans le MS et surtout pour ne pas être anormale (ne pas entrainer d'anomalie).

Donc la "politique" en physique des particules consiste à jauger tout ce qui bouge pourvu que ce soit une symétrie globale interne qui n'a rien à voir avec la facon dont on plonge le système physique dans l'espace-temps (et qu'on ne s'occupe pas de la gravitation).