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Une petite limite



  1. #1
    Bleyblue

    Une petite limite


    ------

    Bonjour,

    Je cherche la valeur de la limite :



    J'ai essayé sur plusieurs chemins différents ((x,0), (0,y),(x,x²),(x,mx), ...) et ça me donne toujours zéro donc je conjecture que la valeur est zéro et je dois démontrer.

    J'ai fais ça comme ça mais je ne sais pas si ça passe :

    La distance entre les valeurs de la fonction et le point zéro vaut :



    et :



    D'autre part :

    (car y² positif ou nul)

    (en prenant la racine des deux membres qui sont tous deux positifs ou nuls)

    (car |y| positif ou nul)

    (pour tout (x,y) différent de (0,0))

    Comme :

    et

    par application du théorème du coinçage (ou du sandwich ou de l'étau ou des gendarmes, c'est comme vous voulez) :



    Ca marche ça où pas ?

    merci

    -----

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  3. #2
    rvz

    Re : Une petite limite

    Salut,

    Oui, ça marche. Néanmoins, dans ce problème, tu peux faire un peux plus simple, en disant que si x est non nul, alors
    , ce que tu vois facilement en divisant par x en haut et en bas.
    Si x est nul, c'est évidemment vrai. Tu conclus comme tu le fais.
    D'ailleurs, je n'ai fait que réécrire la même chose que toi, sauf que je fais ressortir que ta fonction peut s'écrire comme une fonction de y/x. Tu verras qu'en général, si tu peux faire ça, cette méthode marche bien pour prouver la continuité, ou d'éventuelles discontinuités.

    __
    rvz

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Une petite limite

    Ah d'accord. Je me demande un peu vers quoi je vais comme ça ... parcequ'a première vue il s'agit d'une fonction relativement simple et ça a quand même pris quelques lignes pour montrer la réponse.
    Si je devais calculer une limite d'une fonctions plus compliquées avec un cas d'indétermination ? Ici ça a marché parceque j'ai facilement pu encadrer la fonction mais ça n'ira pas touours ...

    merci

  5. #4
    rvz

    Re : Une petite limite

    Eh oui.

    Cela dit, je ne vois pas de manière plus générales de faire ça. Pour ce genre de questions, c'est un peu du cas par cas. C'est pour ça que les fonctions holomorphes, c'est mieux

    __
    rvz

  6. #5
    Bleyblue

    Re : Une petite limite

    Ca veut dire quoi holomorphe ?
    (il va faloir que je trouve un document qui récapitule toutes les défintions avec des termes en "morphes" (holomorphe, isomorphe, automorphe, ...) parque ce que j'en rencontre partout et le seul que j'ai rencontré dans le cadre de mes cours c'est isomorphe)

    merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    rvz

    Re : Une petite limite

    Pour le coup, holomorphe, c'est un peu différent des autres.

    Je fais vite une liste des "morphes" que je connais :

    Algèbre
    -isomorphe/isme (en général en algèbre) : 2 ensembles structurées (groupes, espaces vectoriels, anneaux, corps, etc) dont les structures se correspondent. Ex : Isomorphisme de groupe, isomorphisme d'espaces vectoriels, etc

    - automorphe/isme : Un seul ensemble structuré, dont la structure est conservée via une application qui conserve ladite structure. En gros, un automorphisme, c'est un isomorphisme qui part d'un ensemble E et arrive dans le même ensemble E.

    Analyse réélle :
    - homéomorphes : deux ouverts U et V sont homéomorphes s'il existe une application f continue, bijective, à réciproque continue.

    - C^k difféomorphes : Pareil que précédemment, mais f doit être C^k et sa réciproque aussi.

    Analyse complexe :
    -holomorphe : Dérivable au sens complexe. Plein de propriétés sympathiques, comme être développable en série entière en chaque point de l'intérieur de son ensemble de définition.

    - méromorphe : dérivable au sens complexe sauf en un certain nombre de points.

    Je dois en oublier plein, mais c'est ceux qui me viennent comme ça.

    __
    rvz

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  10. #7
    GuYem

    Re : Une petite limite

    Marrant, j'en trouve pas d'autres des "morphes" ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Une petite limite

    oh c'est chouette ce résumé rvz, merci beaucoup
    (sinon je n'ai encore jamais vraiment fait d'analyse complexe)

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Une petite limite

    Tiens des fonction réelles à valeurs réelles injectives continues sur leur domaine mais à la réciproque non continue, ça existe ça ? J'ai essayé d'en trouver mais je ne vois pas
    Dernière modification par Bleyblue ; 11/08/2006 à 17h57.

  13. #10
    rvz

    Re : Une petite limite

    Salut,

    Des idées en vrac (je me restreins à une fonction qui vérifie ce que tu dis sur un intervalle) :
    f Fonction continue injective => f strictement monotone.
    g strictement monotone => g continue sauf sur un ensemble au plus dénombrable de points où il pourrait y avoir des sauts.

    Du coup, je pense que des fonctions f qui vérifient ce que tu dis ne vont pas exister.

    __
    rvz

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Une petite limite

    D'accord.

    Et dans ta défintion d'homéomorphe tu précises "a réciproque continue". Il est existe donc des bijections :



    (|A| = |B|)

    admettant une réciproque non continue ?

    merci

    p.s. : je ne sais pas ce qui se passe avec le code latex ...

  15. #12
    GuYem

    Re : Une petite limite

    Oui il existe des bijections continues à réciproque non continue ; sinon on ne le préciserait pas dans la déf d'homéomorphe !

    Cela dit mon panel de contre exemples est trés restreint et je ne peux pas t'en sortir un.

    Par contre ce qui est sur c'est que
    - si l'application est de plus linéaire entre deux espaces de Banach, alors la réciproque sera forcément continue (Un théorème de Banach don' j'ai oublié le nom)

    - si l'ensemble de départ est compact, alors la fonction réciproque sera forcément continue aussi. D'ailleurs j'adore la preuve de ce fait et je la mets ici "for the sake of completeness" comme on lit dans des articles un peu pompeux :

    Soit f : K -> F, continue, bijective, aec K compact. On montre que f est fermée.
    Soit donc un A un fermé de K, compact. A est alors compact. f étant continue, B=f(A) est compact, en particulier fermé. Donc f envoie un fermé sur un fermé, cela montre la continuité de sa réciproque.

    Ce que j'adore dans cette preuve c'est comment on se sert d'un truc énorme (compacité à l'arrivée) pour démontrer un truc petit (fermeture à l'arrivée).
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  17. #13
    Sylvestre

    Re : Une petite limite

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Tiens des fonction réelles à valeurs réelles injectives continues sur leur domaine mais à la réciproque non continue, ça existe ça ? J'ai essayé d'en trouver mais je ne vois pas
    Salut,

    Je n'ai pas d'exemple à domaine dans R, mais, l'application qui va du cercle dans l'intervalle [0,2Pi[ donnée par est bijective continue, mais pas de réciproque continue.

    Edit : Est-ce que c'est seulement moi, ou est-ce que le LaTex n'apparait pas ?
    Dernière modification par Sylvestre ; 11/08/2006 à 18h53.

  18. #14
    Sylvestre

    Re : Une petite limite

    Comme le latex n'apparait pas et que je pense que c'est le cas de tout le monde, je réécris mon message précédent :

    Je n'ai pas d'exemple à domaine dans R, mais, l'application qui va du cercle S^1 dans l'intervalle [0,2Pi[ qui envoie un point du cercle sur son angle est bijective continue, mais pas de réciproque continue.

    Edit : Est-ce que c'est seulement moi, ou est-ce que le LaTex n'apparait pas ?

  19. #15
    rvz

    Re : Une petite limite

    Il semble que LateX soit un peu mort en ce moment.

    Pour répondre à Bleyblue, en dimension strictement supérieur à 1, je pense qu'il peut y avoir des problèmes. Par exemple, tu prends X le demi espace de R^2 (pareil que C avec Im(z) >0), auquel tu ajoutes la demi droite R+*. Alors la fonction z -> z^2 est bijective de X dans C, continue, mais la réciproque n'est pas continue. En effet, si tu te places par exemple au point 1 (ou (1,0) si tu vois ça comme R^2), alors tu vas être bien embêté pour trouver un voisinage où tu peux définir une réciproque continue.

    Mais en dimension 1, je persiste à penser que ça n'existe pas, à cause de ces considérations de monotonie. Du coup, je serais très curieux de voir le contre-exemple proposé par Sylvestre : En attendant que le latex réapparaisse :S ...

    __
    rvz

  20. #16
    rvz

    Re : Une petite limite

    Ah oui, d'accord. Effectivement Sylvestre.

    En fait, j'ai donné le même exemple...
    Néanmoins, le truc ici, c'est que ton cercle est une sous variété différentielle de dimension 1, pas juste un intervalle. Notamment, tu n'as pas de notion d'ordre dessus.

    __
    rvz

  21. #17
    Sylvestre

    Re : Une petite limite

    Citation Envoyé par rvz
    En fait, j'ai donné le même exemple...
    Néanmoins, le truc ici, c'est que ton cercle est une sous variété différentielle de dimension 1, pas juste un intervalle. Notamment, tu n'as pas de notion d'ordre dessus.
    Effectivement, c'est bien une sous-variété de dimension 1, mais on peut aussi voir le cercle comme variété de dimension 1 si cela te dérange (mais il n'y aura toujours pas de notion d'ordre).

  22. #18
    rvz

    Re : Une petite limite

    Citation Envoyé par Sylvestre
    Effectivement, c'est bien une sous-variété de dimension 1, mais on peut aussi voir le cercle comme variété de dimension 1 si cela te dérange (mais il n'y aura toujours pas de notion d'ordre).
    Je comprends pas la nuance.

    Je voulais juste dire que cet exemple, qui est intéressant pour montrer qu'ils existent des fonctions continues injectives à réciproque non continues, ne s'applique pas à proprement parler au cas où on travaille sur des intervalles en dimension 1.

    En fait, il y a quand même un truc qui me gêne à bien y réfléchir, c'est que ta fonction n'est pas continue sur le cercle S^1 (problème en l'angle zéro).

    Donc du coup, peut être même que ce résultat est aussi vrai sur des sous variétés différentiellles de dimension 1.
    En fait, une sous variété différentielle de dimension 1, si je ne m'abuse, c'est soit compact, soit homéomorphe à R (recoller les homéo locaux devraient donner ça, non ?). Et du coup, le résultat de Guyem et celui sur R devraient suffire à conclure.
    __
    rvz

  23. Publicité
  24. #19
    rvz

    Re : Une petite limite

    Bon, je viens de m'apercevoir que mon dernier message montre clairement mon cheminement. D'où un peu de manque de clarté. Il faudrait commencer par la fin pour bien faire.

    __
    rvz, en pleines rêveries, et aussi en plein détournement de topic, mais bon, j'ai pas l'air d'être le seul

  25. #20
    Sylvestre

    Re : Une petite limite

    Citation Envoyé par rvz
    Je comprends pas la nuance.
    Ce n'est pas grave, c'est moi qui suis à côté de la plaque

    Citation Envoyé par rvz
    En fait, il y a quand même un truc qui me gêne à bien y réfléchir, c'est que ta fonction n'est pas continue sur le cercle S^1 (problème en l'angle zéro).
    Oui, désolé tu as raison. En fait, je voulais parler de la fonction qui va de l'intervalle [0,2Pi[ vers S^1 qui envoie \theta sur e^{i\theta}. Celle-là est continue, mais pas d'inverse continue.

  26. #21
    GuYem

    Re : Une petite limite

    ... et pour cause, l'intervalle de départ n'est pas compact.

    Par contre si on part dans l'autre sens, ie du cercle vers [0,2pi[, alors le départ est compact, mais on ne peut toujours pas appliquer ma proposition parce que on ne peut pas définir correctement l'application de manière à ce qu'elle soit continue.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  27. #22
    Bleyblue

    Re : Une petite limite

    D'accord merci bien pour toutes les réponses

    (Je ne me suis pas connecté depuis un petit temps, désolé pour le retard de la réponse)

  28. #23
    jarjarbinks

    Thumbs down Re : Une petite limite

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Marrant, j'en trouve pas d'autres des "morphes" ...
    Salut, et si, j'en ai un autre : anthropomorphe !

    Bon, pardon aux modos, c'était juste pour blaguer !

    J.Bray

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