Valeur d’adhérence d’une suite

[Marmus1021]

Bonsoir !

Je n’arrive pas à bien faire l’exercice suivant : Soit (u_n) une suite réelle. Montrer qu’elle admet toujours une valeur d’adhérence dans la droite réelle achevée (ie dans R avec +∞ et -∞)

Je voulais faire une disjonction de cas :
Si u est bornée, c’est immédiat par Bolzano-Weirstrass.
Sinon, elle est non minorée ou non majorée. Prenons le cas où elle n’est pas majorée par exemple. Je pensais construire par récurrence une fonction f:N —> N strictement croissante telle que u_f(n) tende vers +∞.
Mais pour cela je sais simplement que pour tout M dans R, il existe n dans N tel que u_n > M (car u non majorée).
Comment construire f ensuite ?

Merci d’avance
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[MissJenny]

tu choisis un entier n0 quelconque. La sous-suite {u0,u1,...,un0} est majorée donc puisque la suite est non majorée il existe un n1 > n0 tel que un1 > un0. Et tu itères ce raisonnement.