Suite bornée et valeur d'adhérence

[inviteea812b45]

Bonjour tout le monde,

s'il vous plait quelqu'un peut me guider l'exo suivant??

on munit l'espace vectoriel R[X] de la norme:

1)Verifier que c'est une norme sur R[X]
2)Montrer que la suite est bien une suite bornée de R[X] n'ayant pas de valeur d'adhérence.

pour la norme est-ce qu'il suffit de dire car max=0 donc a1=a2=a3=...=ap=0, donc x1=x2=..=xp=0?? et pour l'inégalité triangulaire comment peut-on démontrer ? une petite indication ca suffit...
et pour 2) pourquoi pas de valeurs d'adhérence

merci d'avance!!!
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[Tiky]

Bonjour,

Attention à ne pas confondre fonction polynomiale et polynôme formel. Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Tu as montré que tous les coefficients sont nuls donc c'est bon.
Pour l'inégalité triangulaire, il suffit de savoir que |.| est une norme et d'appliquer l'inégalité à chaque coefficient puis de passer au max.

[invitec3143530]

pour qu'un élément de R[X] soit nul, il faut et suffit que a1=a2=...=0, ça n'a aucun sens de parler de x1 x2 etc
Pour l'inégalité triangulaire, tu as la norme d'un polynôme P+Q = max(|ak+bk|) <=max(|ak|+|bk|) <= max(||P|| + |bk|) <= max (||P|| + ||Q||)

2)c'est une suite borné car pour tout n la norme de X^n est 1. elle n'a pas de valeur d'adhérence pour la raison suivante : étant donné un élément quelconque P de R[X] disons de degré p, la distance (issue de la norme de la question 1 toujours) entre tout élément X^n de cette suite et P est supérieur à 1 dés que n est supérieur à p. l'ensemble des éléments de la suite à distance inférieur à 1 de P est fini, et si P n’appartient pas à la suite (n'est pas un monôme) alors il ne sera impossible d'extraire une suite convergent vers P cars une telle suite contiendrait une infinité d'éléments à distance inférieur à 1 de P...

[inviteea812b45]

merci pour vos réponses mais pour 2) je n'ai pas compris cette méthode là y a-t-il d'autres façons (un peu plus simples) de le faire??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3143530]

Ce n'est pas très compliqué : si l est une valeur d'adhérence d'une suite, alors il existe une infinité d'éléments de la suite à distance inférieur à 1 de l. Là on a montré qu'aucun polynôme l ne vérifie cette propriété (la distance utilisée ici est celle de la norme de la question 1), en effet si tu as un polynôme l de degré k alors tous les termes un de la suite pour n>k seront à distance supérieure à 1[ fais la différence entre le polynôme un et l pour le voir] ie il y a un nombre fini de termes de la suite approchant l à une distance <1.

(au passage dans mon précédent message, ça ne servait à rien de préciser si P n'appartient pas à la suite car ça ne change rien)