Une équation différentielle non linéaire

[invite7bc5812b]

Bonjour à toutes et tous,

Un exercice de physique m'a conduit à cette équation différentielle non linéaire :



J'ai trouvé une solution de la forme (je trouve ). Dans mon bagage de prépa, rien ne m'assure l'unicité de la solution d'une telle équation.
Auriez-vous d'autres idées pour l'attaquer/la résoudre analytiquement ?

Merci !
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[Merlin95]

Heuu elle est bizarre cette équation.

[gg0]

Oui,
il y a plusieurs interprétations possibles? En notant f'(x) la dérivée de f par rapport à x, je vois :
* (f²)"(f(x)) = C; en rajoutant des parenthèses, et qui n'est pas une équation différentielle ordinaire
puis, en pensant à des erreurs simples d'écriture
* (f²)"(x) = C; qui donne f²(x) = Cx²+ax+b. Ensuite, il y a deux interprétations possibles de f²
* f"(f(x)) = C; qui n'est pas non plus une EDO.

Donc un éclaircissement est nécessaire sur l'équation.

Cordialement.

[Resartus]

EDIT : je vois que gg0 a déjà répondu

Bonjour,
Il y a des ² mal placés!
Au vu de la solution proposée, l'écriture rectifiée ne peut pas être d²f/dx² (dérivée seconde de f)

je suppose qu'il faut comprendre (df/dx)²*f=cste, qui a bien une solution en x^(2/3).

Si c'est bien cela, la suite est simple : on a df/dx=b.racine(1/f), qu'on peut réecrire sous la forme dx.b=racine(f).df qui s'intègre en x=(2/3b).f^(3/2)+x0 soit : f=a.(x-x0)^(2/3)

Avec un peu d'habitude, on pouvait s'apercevoir que le polynome trouvé marchait avec un décalage de l'origine
La famille de solutions s'obtient donc en changeant le x0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7bc5812b]

Merci de vos retours. Effectivement, il manque un 2.
Je reprends avec la bonne équation différentielle :


(on est dans votre premier cas @gg0. Dis autrement : f, que multiplie la dérivée seconde de son carré, est constant)
Une idée sur cette équation pas ordinaire ?

[gg0]

Oui : Déjà écrire la dérivée seconde de f² avec f, f' et f", pour avoir une équation écrite plus classiquement.
Ensuite, suivant que la constante s'annule ou pas, transformer cette équation, en particulier, quand la constante n'est pas nulle, sur des domaines où f n'est pas nulle.

J'ai un peu l'impression d'enfoncer des portes ouvertes ...

[stefjm]

Pas simple...
https://www.wolframalpha.com/input/?...7*f%28x%29%3DC

[invite7bc5812b]

Merci à tous