Equation différentielle en sinh(x)

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Je me remets doucement aux mathématiques que j'avais délaissées depuis maintenant cinq ans et je suis vraiment rouillé....L'exercice qui me pose problème est le suivant:

résoudre l'équation différentielle du 2ème ordre suivante: y''-2*y'+y=2*sinh(x) la solution de l'EASSM est (lambda*x+mu)*Exp(x) car 1 est racine double de l'équation caractéristique

Je veux essayer de faire une identification polynômiale, le terme inconnu devra être multiplié par x² car 1 est racine double de l'équation caractéristique.

Je cherche comment je pourrai poser l'identification des termes....

Merci d'avance pour votre aide Cordialement le fouineur
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[gg0]

Bonjour.


L'équation étant linéaire, il te suffit de trouver une solution pour exp(x) et une pour exp(-x). Pour exp(-x), une solution de la forme a exp(-x) doit fonctionner; pour l'autre, qui est déjà solution de l'essm, il y a résonance. x exp(x) étant aussi déjà solution, il faut tester ax² exp(x).

Cordialement.

[le fouineur]

Merci ggo pour ta réponse rapide, je patauge complètement,tout ce que je suis arrivé à poser c'est:

1*(Exp(x)-Exp(-x))-2*(Exp(x)+Exp(-x))+1*(Exp(x)-Exp(-x))=x²*Exp(x) ce qui est manifestement faux..

Merci pour votre aide

Cordialement le fouineur

[gg0]

Essaie une solution particulière de la forme ax²exp(x)+b exp(-x) et choisis a et b pour que ça marche.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Il faut appliquer la superposition en utilisant 2.sinh(x) = exp(x) - exp(-x)

1) pour exp(x), 1 est racine double de l'équation caractéristique, ta solution particulière sera de la forme a.x².exp(x)
1) pour exp(-x), -1 n'est pas racine, ta solution particulière sera de la forme b.exp(-x)

La somme des deux moitiés de solution donnera une solution particulière complète.

[stefjm]

Tellement cool en transformée de Laplace.
https://www.wolframalpha.com/input/?...%29%2Cx%2Cp%5D

[le fouineur]

Merci beaucoup pour vos réponses ggo, jacknicklaus et stefjm

Je ne saisis pas à quel termes doivent être identifiées a*x²*Exp(x) et b*Exp(-x).Donnez-moi les deux égalités et je déterminerai a et b

Merci d'avance pour votre aide Cordialement le fouineur

[stefjm]

Les solutions particulières vérifient l'équation différentielle de départ. Il suffit de remplacer pour trouver a et b.

[le fouineur]

Justement je n'y arrive pas.je me retrouve avec -Exp(-x) que je n'arrive pas à identifier.... Donnez-moi s'il vous plait les deux égalités.

Merci pour votre aide Cordialement le fouineur

[jacknicklaus]

Je ne saisis pas à quel termes doivent être identifiées a*x²*Exp(x) et b*Exp(-x).Donnez-moi les deux égalités et je déterminerai a et b

C'est simple. Prenons y = a.x²exp(x). tu calcules la dérivée y' de cette fonction, puis la dérivée seconde y".
Indiques nous ce que tu trouves pour ces deux expressions.
Ensuite, tu formes l'équation y''-2*y'+y = exp(x). Ca te donne la valeur de a

même chose pour y = b.exp(-x). Tu calcules y' et y" et tu nous dit ce que tu trouves, on te dira si c'est ok.
Et tu formes l'équation y''-2*y'+y = exp(-x). ce qui te donne la valeur de b

Ta solution particulière sera y = a*x²*Exp(x) + b*Exp(-x) avec les valeurs a et b précédemment calculées.

[gg0]

C'est ce que j'indiquais au message #4. Le fouineur fait probablement une erreur de calcul qu'on ne pourra pas trouver tant qu'il ne les exposera pas ici.

[le fouineur]

Merci jacknicklaus pour ton aide rapide et décisive,

J'ai calculé pour a: (a*x²+4*a*x+2*a)* Exp(x)-2(a*x²+2*a*x)*Exp(x)+a*x²*Exp( x)=Exp(x) après division par Exp(x) et suppression des termes qui s'annulent j'obtiens a=1/2

de même pour b: (b*Exp(-x))-2*(-2*b*Exp(-x))+(b*Exp(-x))=Exp(-x) j'obtiens b=1/4

La solution complète est donc: y(x)=1/2*(x²*Exp(x))-1/4*(Exp(-x))+(Lambda*x+Mu)*Exp(x)


Cordialement le fouineur

[gg0]

Wolfram alpha trouve comme toi.

Cordialement.

[jacknicklaus]

bravo.

Bien comprendre le cheminement utilisé pour la solution particulière

1) l'expression y"-2y'+y = 2.sinh(x) est linéaire en y, et il se trouve que 2.sinh(x) = e(x) + e(-x). Donc on va résoudre séparément y"-2y'+y = exp(-x) et y"-2y'+y = exp(-x), et additionner les deux solutions.

2) Pourquoi on fait çà, parce qu'on dispose de techniques solides (cf tes cours) sur les second membres en exp(kx) :
si k n'est pas solution de l'EC x²-2x+1 = 0, on a une solution particulière en : a.exp(kx)
si k est racine simple de l'EC x²-2x+1 = 0, on a une solution particulière en : b.x.exp(kx)
si k racine double de l'EC x²-2x+1 = 0, on a une solution particulière en : c.x².exp(kx)
etc...

[stefjm]

Autant la linéarité permet de comprendre pourquoi on additionne les solutions, autant les techniques solides font vraiment "sortie du chapeau"...
Je n'ai vraiment compris d'où cela venait qu'avec la transformée de Laplace (dérivée coté p, donne un produit par x coté x).

[jacknicklaus]

autant les techniques solides font vraiment "sortie du chapeau"...

pas du tout. Par exemple, pourquoi on cherche une solution c.x².exp(x) en cas de racine double ? Tout simplement parce que les solutions de degré 1 : (ax + b).exp(x) sont déjà "bouffées" (quels que soient a et b) par la solution générale sans 2nd membre. Faut donc aller directement au degré supérieur, donc c.x².exp(x) C'est tout à fait simple.

[stefjm]

Autant physiquement, je comprend ce qui se passe avec ces résonances (ou en TL, encore plus clair), autant mathématiquement, augmenter le degré me parait de la "cuisine".
En gros, je ne vois pas d'où cela peut sortir naturellement.

[jacknicklaus]

C'est la beauté des maths. On jette un pont à priori inattendu, entre deux domaines : l'algebre polynomiale (et les polynômes d'application linéaires) et les équations différentielles linéaires. c'est frappant aussi sur l'autre fil où nous sommes intervenus tous deux (polynômes d'endomorphisme, pour aboutir au final à la résolution générale de l'équa diff : y⁽ⁿ⁾ = y )