surface plane d'une sphère?!

[noone.1]

Bonjour,

Une petit questionnement qui m'est revenu de je ne sais où après de nombreuses années mais qui me turlupine maintenant et je ne trouve pas de réf.

A l'époque j'avais un prof un peu excentrique en DEA (en physique) qui nous avez dit "la surface d'une sphère est la seule surface plane qui existe" où "seule la surface d'une sphère est rigoureusement plane", quelque chose comme ça.

Mais à l'époque personne n'avait relevé et comme ce n'était pas vraiment en rapport avec le cours c'était tombé dans les limbes. Est-ce que quelqu'un aurait une explication ou bien c'était de l'humour très subtile?

Merci
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[MissJenny]

Ca doit être de l'humour de physicien. Il est vrai que les physiciens aiment la symétrie et ont tendance à voir des sphères partout...

[jacknicklaus]

les physiciens voient des sphères partout et les mathématiciens les empilent.

[Médiat]

les physiciens voient des sphères partout et les mathématiciens les empilent.

Mais c'est plus drôle en dimension > 4

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Tentative d'explication : la sphère est une surface non pas plane, mais réglée, c'est à dire qu'elle peut être engrendrée par des droites; mais qui sont certes un peu bizarres, car elle sont imaginaires
A comparer avec les paraboloides hyperboliques qui sont également réglés, mais avec des droites réelles (cf les cheminées de centrales nucléaires)

[Appex]

Peut-être une réponse :
Si les droites parallèles se coupent à l'infini (il parait) alors une surface plane (qui sera toujours infinie si on ne précise pas plus loin) ne peut pas être strictement plane si on considère "deux bouts" (enfin déjà deux bouts d'1 droite pour commencer puis une deuxième coupant la première) placés infiniment loin l'un de l'autre (les bouts sont placés infiniment loin).
Par contre la sphère étant "fermée" (pas de question d'infini ici) on peut considérer deux tangentes en tout point de la sphère qui indiquent donc qu'en un point donné la surface est plane.

On peut aussi raisonner de la même manière (en physicien) en 2D avec une droite et un cercle.

[noone.1]

ok, merci pour les tentatives.

Je pense qu'il y a qqch à creuser du côté de ton idée Appex. En effet, sur une surface plane les droites parallèles se coupent à l'infinie, une façon de se représenter le "jamais". Mais si on considère une surface finie, la seule façon qu'elles ne se coupent pas c'est qu'elle se "replient" sur elle-même. Ceci dit il doit y avoir autre chose car en effet on peut avoir deux parallèles sur d'autres surfaces qu'une sphère (ellipsoïde, etc)...

Du coup ça me rappelle aussi qu'en physique on dit aussi que le cristal parfait n'existe pas car il devrait être infini (ce qui n'est donc pas possible) et aussi il ne serait pas neutre (en intégrant le potentiel à l'infini ça ne fait pas 0), c'est un modèle mathématique.

Bref, ça remonte un peu loin dans ma jeunesse quand même donc désolé pour les inexactitudes mais merci pour les réponses.

[Deedee81]

Salut,

Oui, c'est sans doute de l'humour lié à "l'idéalisation" des physiciens. En physique une surface parfaitement plane n'existe pas.
Mais pour une surface sphérique même imparfaite, en chaque point on peut considérer le plan tangent (plan parfait cette fois) (bon on peut le faire aussi pour la surface plane bosselée mais c'est plus marrant après ).
(*)

Ceci dit, je trouve plus amusant de retourner une sphère comme une chaussette (si, si en mathématique c'est possible ) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Surface_de_Boy

Ca m'avait beaucoup intriqué à 14 ans quand j'ai eut mon premier PC (un trs80), j'avais lu ça dans l'O.I. (mais avec le TRS 80 tintin pour dessiner ça évidemment). Intuitivement l'imaginais qu'un tel retournement aurait dû donner une sphère. Et évidemment je n'avais pas le bagage mathématique pour creuser la question.

Un autre aspect que je trouve amusant de la sphère qui cette fois dit "non, non, ce n'est pas un plan" est le théorème
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...boule_chevelue

Et aussi évidemment (dans le même esprit d'ailleurs) le théorème de Perelman :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjec..._Poincar%C3%A9

Et on en revient à ce que disait Médiat sur les sphères de dimensions plus élevées. Déjà une 3-sphère pose des problèmes épineux.

Curieusement, cette conjecture avec été résolue plus facilement pour des D-sphère avec D > 3, il n'est pas rare dans les généralisations à N dimensions de structures géométriques de voir des cas particuliers se poser à 2, 3 ou 4 dimensions. On voit déjà ça en physique avec les réseaux de spins ou bien avec les trajectoires browniennes mais j'avais lu ça aussi sur les groupes géométriques. Je ne sais pas pourquoi ces "petites" dimensions souvent des difficultés techniques. Par contre, d'un point de vue intuitif, essayez un peu de visualiser, de tête, l'empilement des sphères 5D par exemple : préparez les cachets d'aspirine

Il y a des tas et des tas de choses passionnantes avec les sphères.

(*) une connue : un fermier désespère, dans un de ses enclots ses poules meurent et il ne sait pas pourquoi. Spécialiste des renards, vétérinaires, toxicologues, tout le monde a cherché. Mystère. Un ami physicien lui dit "attend je vais y réfléchir". Et il revient le lendemain : "ça y est j'ai compris, mais ça ne marche que pour des poules sphériques dans le vide"

[Deedee81]

EDIT et en tant que physicien je peux dire que les surfaces les plus parfaites en physique sont des sphères : sur une étoile à neutron la gravité de surface est si énorme que les montagnes les plus grandes font moins d' 1 mm. Reporté à la taille de la bête ça en fait un objet d'une sphéricité absolument exceptionnelle, il n'y a que, l'homme qui arrive à faire mieux avec par exemple les miroirs des grands télescopes ou bien les mathématiciens, hommes exceptionnels s'il en faut, puisque leur sphères, leurs cubes, etc... sont toujours parfaits

P.S. je ne suis pas mathématicien (je suis ingénieur, informaticien et .... physicien de passion)

[Appex]

Après il y a aussi la notion de courbure qu'on détermine par le système du cercle inscrit.
La courbure d'un cercle (je me place en 2D c'est équivalent dans le principe que la 3D et plus simple) n'est pas nulle.
Si cette courbure était nulle on pourrait dire que le cercle possède une surface plane.
A noter que le cercle inscrit qui défini la courbure du cercle est le cercle lui-même ce qui rend la question du cercle inscrit tautologique.

Le moyen d'y arriver (avoir une courbure nulle) serait peut-être d'avoir un cercle de rayon infini.
Or un cercle de rayon infini ne peut plus être considéré de la même façon qu'un cercle dans l'espace R2 puisqu'on ne peut plus y définir le centre dans le cas d'une droite infinie.
Un cercle sans centre je ne sais pas mais si on oublie le centre et considère juste la circonférence infinie (plus grande que le rayon ? Un infini plus grand qu'un autre ?) "la bête" obtenue est-elle encore un cercle ?
Peut-être avons-nous alors affaire à un plan ?
Avis aux spécialistes.

Pour en revenir à la question initiale et du point de vue du physicien un truc amusant c'est que le physicien a horreur des infinis alors qu'il raffole des infinitésimaux.
Ainsi il est possible de produire une tangente en "se rapprochant" de plus en plus du cercle par une espèce de changement d'échelle dans l'infiniment petit
ce qui revient quelque-part à imaginer un cercle de taille infini alors qu'ici on s'occupe d'un segment de cercle de plus en plus petit (infiniment petit ... un point peut-être).

Si le mathématicien a raison de reconsidérer la question d'un cercle de rayon infini le physicien a-t-il raison de penser pouvoir plonger dans l'infiniment petit pour obtenir une surface plane chez un cercle ?

[Deedee81]

Après il y a aussi la notion de courbure qu'on détermine par le système du cercle inscrit.
La courbure d'un cercle (je me place en 2D c'est équivalent dans le principe que la 3D et plus simple) n'est pas nulle.
Si cette courbure était nulle on pourrait dire que le cercle possède une surface plane.
A noter que le cercle inscrit qui défini la courbure du cercle est le cercle lui-même ce qui rend la question du cercle inscrit tautologique.

Là je ne te suis pas. Un cercle est in cercle, avec un rayon de courbure R, et ce quel que soit l'endroit où il est tracé : sur un plan, sur une sphère. Tu ne veux pas plutôt parler de calotte sphérique ??? Ou alors il y a quelque chose que je n'ai pas compris. Peux-tu expliquer comment en traçant un cercle on détermine la courbure (et pourquoi un cercle tracé sur le plan ne donnerait pas sa "courbure") ? Tu voulais peut-être parler non de cercle inscrit mais de cercle osculateur ?

Pour la question, on utilise plutôt un triangle (curviligne, les bords étant des grands cercles ou des géodésiques en général). Pour la somme des angles au sommet, il y a un écart à 180° appelé excès sphériques. Et on fait tendre le rapport "excès/R" avec R -> 0. Ca marche pour tout type de surface. Mais ce n'est évidemment pas adapté à plus grande dimensions car la courbure est plus complexe (à trois dimensions, rien que la courbure intrinsèque a dix composantes, et ça augmente vite avec les dimensions). Idem pour le cercle osculateur d'ailleurs

[Appex]

Tu voulais peut-être parler non de cercle inscrit mais de cercle osculateur ?

Oui c'est tout à fait ça.
Désolé pour le terme erroné.

[Deedee81]

Oui c'est tout à fait ça.
Désolé pour le terme erroné.

D'accord. Cette méthode marche bien aussi.

Merci,