Mesurabilité et lim sup fn

[invite4c6b673b]

Bonjour,

J'essaie de faire le lien entre 2 notions depuis plusieurs heures.
Dans R muni de la tribu borélienne (ou éventuellement la droite réelle achevée si les lim sup et lim inf de fonctions ci-dessous peuvent prendre des valeurs infinies, il me semble que cela ne change rien à mon problème)
J'essaie de lier d'une part la notion de lim sup/inf d'ensembles et
et d'autre part celle de lim sup/inf de fonctions et .

J'aurais dit intuitivement que si A est un ensemble mesurable : (*)

Si ça fonctionne bien pour où t est un réel quelconque (je peux mettre la démo si besoin), en revanche à peine quand je change la borne et prends il ne me reste plus qu'une des 2 inclusions : à cause d'un passage à la limite qui fait perdre l'inégalité stricte.
Un contre-exemple facile est et t=0. Si je ne dis pas de bêtises, le premier ensemble est l'ensemble vide et le second est R tout entier.

Ma question est alors la suivante : est-ce que j'ai fait une erreur dans mon raisonnement et ce ne sont pas les bonnes égalités ou est-ce que (*) est bien fausse en général et il faut bien faire attention à l'endroit où l'on met les parenthèses ?

Merci d'avance à tous ceux qui auraient la gentillesse de m'éclairer

Bonus : si ça peut aider, je me pose cette question dans le cadre d'un cours sur la convergence de variables aléatoires (par exemple pour la convergence presque sure où la lim sup est utilisée dans des critères de convergence). En particulier, si quelqu'un a le livre Probabilités de Girardin et Limnios, j'ai l'impression qu'il y a une erreur dans l'exemple 4.8 p134.
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[invite4c6b673b]

Comme mon message n'a eu aucun succès, je me permets de tenter une ultime reformulation.

Dans le livre de Valérie Giradin et Nikolaos Limnios intitulé Probabilités et introduction à la statistique, on peut trouver (ex 4.8 p. 134) la propriété suivante :
Soit (Xn) une suite aléatoire réelle, pour tout .

Après avoir écrit pour justifier que l'évènement est mesurable (je ne comprends pas l'utilité de le préciser d'ailleurs), le livre donne :



Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur la 3ème équivalence, ce serait génial. Je ne comprends pas pourquoi c'est vrai, il me semble d'ailleurs qu'avec Xn=1/n et x=0, ça ne fonctionne plus à cause de l'inégalité stricte.
Merci d'avance !

[gg0]

Bonjour.

Autant je comprends ton but, autant je ne comprends rien à ce que tu racontes dans ton premier message. Tes notations n'ont aucun sens pour moi :
????
Qui est A ? Dire "A est un ensemble mesurable" n'a pas de sens, à moins que tu ne connaisses qu'un seul ensemble mesuré; Et ensuite, tu donnes pour A un ensemble de réels, mais alors les sont des réels ? Je croyais que c'était des fonctions !
Pour ton deuxième message, le troisième est simplement la définition de la limite supérieure, non ?

Cordialement.

NB : J'ai bien peur que ton idée soit un peu trop ambitieuse. Il existe quelques passages d'une notion à l'autre, comme celle que tu cites au deuxième message, mais probablement pas de règle générale.

[invite4c6b673b]

Merci d'avoir pris le temps de répondre !

Effectivement je me suis rendu compte un peu tard que le premier message était maladroit, c'est pour cela que j'ai essayé de reformuler au mieux. J'ai même peut-être fait une erreur dedans (pas sûr de moi, tout va dépendre de la réponse à mon 2nd post). L'idéal pour moi ce serait plutôt d'avoir une réponse à mon 2nd post et je pense que j'arriverai à recoller les morceaux ensuite, mais pour répondre à ta question sur les : ce sont bien des fonctions mesurables, c'est juste que j'ai utilisé maladroitement la notation qu'on utilise plutôt en probabilités pour des variables aléatoires càd . En voulant poser la question la plus générale possible j'ai rendu les choses un peu tordues

Et pour ta réponse à mon second post à propos de la 3ème équivalence :

Pour :
Si , alors il vient tout de suite

Pour :
Si alors x est un minorant et comme l'inf est le plus grand des minorant, .
Mais je perds l'inégalité stricte. Comme je disais plus haut, un contre-exemple est donné par les variables aléatoires constantes .

Je n'arrive pas à voir où mon raisonnement est faux. Ou s'il y a bien une erreur dans le livre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Heu ... c'est gênant pour la suite, d'avoir une inégalité large ? Il y a peut-être une typo.

[invite4c6b673b]

C'était important pour moi parce que c'est réutilisé dans d'autres démos de mon cours par la suite. J'aurais donc aimé savoir si les auteurs avaient traîné une erreur sur plusieurs pages (ce qui m'étonnerait vraiment) ou si je passé à côté de quelque chose d'évident. Et en plus contrairement à ce que j'ai annoncé dans mon premier post, je ne suis pas sûr que ce soit vrai pour l'inégalité large non plus, je coince aussi pour une raison similaire à la 2ème équivalence.
Mais merci d'avoir pris le temps de me répondre !